Упр.1337 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Доказать, что корни уравнения $$ax^2+bx+a=0$$ есть взаимно обратные числа, если $$a\ne0$$.

Пусть $$x_1$$ и $$x_2$$ — корни уравнения $$ax^2+bx+a=0$$, где $$a\ne 0$$.

По формуле корней квадратного уравнения имеем:

$$x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4a^2}}{2a}.$$

Найдём произведение корней:

$$x_1x_2=\frac{-b+\sqrt{b^2-4a^2}}{2a}\cdot\frac{-b-\sqrt{b^2-4a^2}}{2a} =\frac{b^2-(b^2-4a^2)}{4a^2} =\frac{4a^2}{4a^2}=1.$$

Следовательно, $$x_1x_2=1$$, значит, $$x_1=\frac{1}{x_2}$$ и $$x_2=\frac{1}{x_1}$$. Поэтому корни уравнения являются взаимно обратными числами.

Ответ: корни уравнения взаимно обратные, так как их произведение равно $$1$$.