Упр.1336 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

При каком условии трёхчлен $$ax^2+bx+c$$ является квадратом двучлена?

Трёхчлен $$ax^2+bx+c$$ является квадратом двучлена тогда и только тогда, когда его можно представить в виде $$\left(mx+n\right)^2.$$

Раскроем скобки:

$$\left(mx+n\right)^2=m^2x^2+2mnx+n^2.$$

Сравнивая коэффициенты, получаем:

$$a=m^2,\quad b=2mn,\quad c=n^2.$$

Отсюда следует, что

$$a>0,\quad c>0,\quad b^2=(2mn)^2=4m^2n^2=4ac.$$

Значит, трёхчлен $$ax^2+bx+c$$ является квадратом двучлена при условиях

$$a>0,\quad c>0,\quad b^2=4ac.$$

Ответ

$$a>0,\quad c>0,\quad b^2=4ac.$$