Упр.1331 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Алимов, Колягин, Ткачёва 11 класс, Просвещение: 1331

Решим уравнение:

$$\frac{2}{x^2-x+1}-\frac{1}{x+1}=\frac{2x-1}{x^3+1}.$$

Заметим, что

$$x^3+1=(x+1)(x^2-x+1).$$

Тогда область допустимых значений задаётся условиями:

$$x+1\ne 0,\qquad x^2-x+1\ne 0.$$

Умножим обе части уравнения на $$\left(x+1\right)\left(x^2-x+1\right)$$:

$$2(x+1)-\left(x^2-x+1\right)=2x-1.$$

Раскроем скобки и приведём подобные:

$$2x+2-x^2+x-1=2x-1,$$

$$-x^2+3x+1=2x-1,$$

$$-x^2+x+2=0,$$

$$x^2-x-2=0.$$

Разложим на множители:

$$\left(x-2\right)\left(x+1\right)=0.$$

Отсюда $$x=2$$ или $$x=-1$$.

Но $$x=-1$$ не подходит, так как обращает в нуль знаменатель.

Следовательно, подходит только $$x=2$$.

Ответ

$$x=2$$