Упр.133 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Задача

Найти область определения и множество значений функции, обратной к данной:
а) $$y=-2x+1$$;
б) $$y=\frac{1}{4}x-7$$;
в) $$y=x^3-1$$;
г) $$y=(x-1)^3$$;
д) $$y=\frac{2}{x}$$;
е) $$y=\frac{3}{x-4}$$.

Подробный ответ

Для обратной функции область определения и множество значений меняются местами. Поэтому достаточно найти их для каждой данной функции.

$$y=-2x+1$$
Линейная функция определена при всех $$x\in\mathbb{R}$$ и принимает все действительные значения.
Следовательно, для данной функции и для обратной к ней:
$$D(x)=(-\infty;+\infty), \qquad E(y)=(-\infty;+\infty).$$
$$y=\frac14x-7$$
Это линейная функция, значит:
$$D(x)=(-\infty;+\infty), \qquad E(y)=(-\infty;+\infty).$$
Для обратной функции:
$$D(x)=(-\infty;+\infty), \qquad E(y)=(-\infty;+\infty).$$
$$y=x^3-1$$
Кубическая функция определена при всех $$x\in\mathbb{R}$$ и принимает все действительные значения.
Для данной функции и для обратной к ней:
$$D(x)=(-\infty;+\infty), \qquad E(y)=(-\infty;+\infty).$$
$$y=(x-1)^3$$
Это также кубическая функция, поэтому:
$$D(x)=(-\infty;+\infty), \qquad E(y)=(-\infty;+\infty).$$
Для обратной функции:
$$D(x)=(-\infty;+\infty), \qquad E(y)=(-\infty;+\infty).$$
$$y=\frac{2}{x}$$
Знаменатель не должен обращаться в нуль, значит $$x\ne 0$$. Кроме того, значение $$y=0$$ невозможно.
Для данной функции:
$$D(x)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty), \qquad E(y)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty).$$
Для обратной функции:
$$D(x)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty), \qquad E(y)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty).$$
$$y=\frac{3}{x-4}$$
Знаменатель не равен нулю, поэтому $$x\ne 4$$. Значение $$y=0$$ также невозможно.
Для данной функции:
$$D(x)=(-\infty;4)\cup(4;+\infty), \qquad E(y)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty).$$
Для обратной функции область определения и множество значений меняются местами:
$$D(x)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty), \qquad E(y)=(-\infty;4)\cup(4;+\infty).$$