Упр.1319 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1)

$$\frac{1-2\sin^2 a}{1+\sin 2a} = \frac{\cos^2 a-\sin^2 a}{(\cos a+\sin a)^2} = \frac{(\cos a-\sin a)(\cos a+\sin a)}{(\cos a+\sin a)^2} = \frac{\cos a-\sin a}{\cos a+\sin a}$$
$$\frac{\cos a-\sin a}{\cos a+\sin a} = \frac{1-\tg a}{1+\tg a}$$

Тождество доказано.

2)

$$\frac{1}{4\sin^2 a\cdot \cos^2 a} = \frac{1}{\sin^2 2a} = \ctg^2 2a+1$$
$$1+\frac{(1-\tg^2 a)^2}{4\tg^2 a} = 1+\left(\frac{1-\tg^2 a}{2\tg a}\right)^2 = 1+\ctg^2 2a$$

Тождество доказано.

3)

$$\tg\left(\frac{\pi}{4}+a\right) = \frac{\sin\left(\frac{\pi}{4}+a\right)}{\cos\left(\frac{\pi}{4}+a\right)} = \frac{\frac{\sqrt2}{2}\cos a+\frac{\sqrt2}{2}\sin a}{\frac{\sqrt2}{2}\cos a-\frac{\sqrt2}{2}\sin a} = \frac{\cos a+\sin a}{\cos a-\sin a}$$
$$\frac{1+\sin 2a}{\cos 2a} = \frac{(\sin a+\cos a)^2}{(\cos a-\sin a)(\cos a+\sin a)} = \frac{\cos a+\sin a}{\cos a-\sin a}$$

Тождество доказано.

4)

$$\frac{1-\sin 2a}{1+\sin 2a} = \frac{(\cos a-\sin a)^2}{(\cos a+\sin a)^2}$$
$$\ctg^2\left(\frac{\pi}{4}+a\right) = \frac{\cos^2\left(\frac{\pi}{4}+a\right)}{\sin^2\left(\frac{\pi}{4}+a\right)} = \frac{(\cos a-\sin a)^2}{(\cos a+\sin a)^2}$$

Тождество доказано.