Упр.1318 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Преобразуем правую часть:

$$4\cos\alpha\cdot \cos\left(\frac{\pi}{6}+\frac{\alpha}{2}\right)\cdot \cos\left(\frac{\pi}{6}-\frac{\alpha}{2}\right)$$

$$=4\cos\alpha\cdot \frac{1}{2}\left(\cos\left(\frac{\pi}{6}+\frac{\alpha}{2}+\frac{\pi}{6}-\frac{\alpha}{2}\right)+\cos\left(\frac{\pi}{6}+\frac{\alpha}{2}-\frac{\pi}{6}+\frac{\alpha}{2}\right)\right)$$

$$=4\cos\alpha\cdot \frac{1}{2}\left(\cos\frac{\pi}{3}+\cos\alpha\right)$$

$$=2\cos\alpha\left(\frac{1}{2}+\cos\alpha\right)=\cos\alpha+2\cos^2\alpha.$$

Так как $$\cos 2\alpha=2\cos^2\alpha-1,$$ то

$$\cos\alpha+2\cos^2\alpha=\cos\alpha+1+\cos 2\alpha.$$

Следовательно,

$$1+\cos\alpha+\cos 2\alpha=4\cos\alpha\cdot \cos\left(\frac{\pi}{6}+\frac{\alpha}{2}\right)\cdot \cos\left(\frac{\pi}{6}-\frac{\alpha}{2}\right).$$

Тождество доказано.