Упр.1314 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$\sin\left(a+\frac{\pi}{3}\right)-\sin\left(a-\frac{\pi}{3}\right)=\sqrt{3}\cos a$$
2. $$\cos\left(\frac{\pi}{6}+a\right)+\cos\left(\frac{\pi}{6}-a\right)=\sqrt{3}\cos a$$

1) Преобразуем левую часть тождества по формуле

$$\sin x-\sin y=2\sin\frac{x-y}{2}\cos\frac{x+y}{2}.$$

Тогда

$$\sin\left(a+\frac{\pi}{3}\right)-\sin\left(a-\frac{\pi}{3}\right) =2\sin\frac{\left(a+\frac{\pi}{3}\right)-\left(a-\frac{\pi}{3}\right)}{2}\cos\frac{\left(a+\frac{\pi}{3}\right)+\left(a-\frac{\pi}{3}\right)}{2}$$

$$=2\sin\frac{2\pi/3}{2}\cos\frac{2a}{2} =2\sin\frac{\pi}{3}\cos a =2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\cos a =\sqrt{3}\cos a.$$

Тождество доказано.

2) Преобразуем левую часть тождества по формуле

$$\cos x+\cos y=2\cos\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}.$$

Тогда

$$\cos\left(\frac{\pi}{6}+a\right)+\cos\left(\frac{\pi}{6}-a\right) =2\cos\frac{\left(\frac{\pi}{6}+a\right)+\left(\frac{\pi}{6}-a\right)}{2}\cos\frac{\left(\frac{\pi}{6}+a\right)-\left(\frac{\pi}{6}-a\right)}{2}$$

$$=2\cos\frac{\pi}{6}\cos a =2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\cos a =\sqrt{3}\cos a.$$

Тождество доказано.