Упр.1312 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Доказать тождество (1312—1320).

Преобразуем левую часть тождества:

$$\frac{\tg(\alpha-\beta)+\tg\beta}{\tg(\alpha+\beta)-\tg\beta} = \left(\frac{\tg\alpha-\tg\beta}{1+\tg\alpha\,\tg\beta}+\tg\beta\right) : \left(\frac{\tg\alpha+\tg\beta}{1-\tg\alpha\,\tg\beta}-\tg\beta\right)$$

$$= \frac{\tg\alpha-\tg\beta+\tg\beta+\tg\alpha\,\tg^2\beta}{1+\tg\alpha\,\tg\beta} : \frac{\tg\alpha+\tg\beta-\tg\beta+\tg\alpha\,\tg^2\beta}{1-\tg\alpha\,\tg\beta}$$

$$= \frac{\tg\alpha(1+\tg^2\beta)}{1+\tg\alpha\,\tg\beta} : \frac{\tg\alpha(1+\tg^2\beta)}{1-\tg\alpha\,\tg\beta} = \frac{1-\tg\alpha\,\tg\beta}{1+\tg\alpha\,\tg\beta}$$

$$= \frac{1-\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\cdot\dfrac{\sin\beta}{\cos\beta}} {1+\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\cdot\dfrac{\sin\beta}{\cos\beta}} = \frac{\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta} = \frac{\cos(\alpha+\beta)}{\cos(\alpha-\beta)}.$$

Тождество доказано.