Упр.1311 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Алимов, Колягин, Ткачёва 11 класс, Просвещение: 1311 Упростить выражение и найти его числовое значение при данном значении а:

Подробный ответ

Преобразуем выражение:

$$ \frac{2-3\sin^2 a}{\cos 2a}-\frac{\sin a+2\cos a}{\sin a+\cos a} $$

$$ 2-3\sin^2 a=2(\sin^2 a+\cos^2 a)-3\sin^2 a=2\cos^2 a-\sin^2 a $$

Тогда
$$ \frac{2-3\sin^2 a}{\cos 2a}-\frac{\sin a+2\cos a}{\sin a+\cos a} = \frac{2\cos^2 a-\sin^2 a}{\cos^2 a-\sin^2 a} -\frac{\sin a+2\cos a}{\sin a+\cos a}. $$

Приведём к общему знаменателю:

$$ \frac{2\cos^2 a-\sin^2 a-(\sin a+2\cos a)(\cos a-\sin a)}{\cos 2a} $$

Раскроем скобки в числителе:

$$ 2\cos^2 a-\sin^2 a-\sin a\cos a+\sin^2 a-2\cos^2 a+2\sin a\cos a = \sin a\cos a. $$

Следовательно,

$$ \frac{\sin a\cos a}{\cos 2a} = \frac{\frac12\sin 2a}{\cos 2a} = \frac12\tg 2a. $$

Подставим $$a=-\frac{\pi}{8}$$:

$$ \frac12\tg 2a=\frac12\tg\left(-\frac{\pi}{4}\right)=\frac12\cdot(-1)=-\frac12. $$