Упр.1311 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Упростить выражение и найти его числовое значение при данном значении $$a$$.

$$\frac{2-3\sin^2 a}{\cos 2a}-\frac{\sin a+2\cos a}{\sin a+\cos a}$$

Преобразуем выражение:

$$\frac{2-3\sin^2 a}{\cos 2a}-\frac{\sin a+2\cos a}{\sin a+\cos a} = \frac{2(\cos^2 a+\sin^2 a)-3\sin^2 a}{\cos 2a} -\frac{\sin a+2\cos a}{\sin a+\cos a}$$

$$= \frac{2\cos^2 a-\sin^2 a}{\cos 2a} -\frac{\sin a+2\cos a}{\sin a+\cos a}$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{2\cos^2 a-\sin^2 a}{\cos 2a} -\frac{(\sin a+2\cos a)(\cos a-\sin a)}{(\sin a+\cos a)(\cos a-\sin a)}$$

Так как $$\cos 2a=\cos^2 a-\sin^2 a,$$ получаем:

$$\frac{2\cos^2 a-\sin^2 a-(\sin a+2\cos a)(\cos a-\sin a)}{\cos 2a}$$

Раскроем скобки:

$$2\cos^2 a-\sin^2 a-\sin a\cos a+\sin^2 a-2\cos^2 a+2\sin a\cos a =\sin a\cos a$$

Значит,

$$\frac{\sin a\cos a}{\cos 2a} = \frac{\frac12\sin 2a}{\cos 2a} = \frac12\tg 2a$$

Подставим $$a=-\frac{\pi}{8}$$:

$$\frac12\tg 2a=\frac12\tg\left(-\frac{\pi}{4}\right)=\frac12\cdot(-1)=-\frac12$$

Ответ: $$-\frac12$$