Упр.131 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

(Устно.) Выяснить, является ли обратимой функция:

1. $$y=3x-1$$;
2. $$y=x^2+7$$;
3. $$y=\frac{1}{x}$$;
4. $$y=\sqrt{x}$$;
5. $$y=x^4$$;
6. $$y=x^4,\ x<0$$.

1. $$y=3x-1$$

   Это линейная функция с ненулевым коэффициентом при $$x$$, значит, она строго монотонна и обратима.

   Ответ: обратима.

2. $$y=x^2+7$$

   Эта функция не является взаимно однозначной: например, при $$x=1$$ и $$x=-1$$ получаем одно и то же значение $$y=8$$. Значит, функция не обратима.

   Ответ: не обратима.

3. $$y=\frac{1}{x}$$

   Функция определена при $$x\ne 0$$ и каждому своему значению соответствует единственное значение аргумента. Следовательно, она обратима.

   Ответ: обратима.

4. $$y=\sqrt{x}$$

   На области определения $$x\ge 0$$ функция строго возрастает, значит, обратима.

   Ответ: обратима.

5. $$y=x^4$$

   Функция не является взаимно однозначной: например, при $$x=1$$ и $$x=-1$$ получаем $$y=1$$. Значит, функция не обратима.

   Ответ: не обратима.

6. $$y=x^4,\quad x<0$$

   При ограничении $$x<0$$ функция становится строго убывающей на своей области определения, поэтому она обратима.

   Ответ: обратима.