Упр.1307 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1) Используем формулы

$$\sin 3a \sin a=\frac{1}{2}\bigl(\cos(3a-a)-\cos(3a+a)\bigr)=\frac{1}{2}(\cos 2a-\cos 4a).$$

Тогда

$$\frac{\cos 4a-\cos 2a}{\sin 3a\cdot \sin a} = \frac{\cos 4a-\cos 2a}{\frac{1}{2}(\cos 2a-\cos 4a)} = \frac{\cos 4a-\cos 2a}{-\frac{1}{2}(\cos 4a-\cos 2a)} =-2.$$

Ответ: $$-2$$

2) Преобразуем числитель и знаменатель:

$$1+\cos a+\cos 2a+\cos 3a = (1+\cos 2a)+(\cos a+\cos 3a).$$

По формулам суммы в произведение:

$$1+\cos 2a=2\cos^2 a,\qquad \cos a+\cos 3a=2\cos 2a\cos a.$$

Тогда

$$1+\cos a+\cos 2a+\cos 3a = 2\cos^2 a+2\cos 2a\cos a = 2\cos a(\cos a+\cos 2a).$$

Знаменатель:

$$\cos a+2\cos^2 a-1 = \cos a+(2\cos^2 a-1) = \cos a+\cos 2a.$$

Следовательно,

$$\frac{1+\cos a+\cos 2a+\cos 3a}{\cos a+2\cos^2 a-1} = \frac{2\cos a(\cos a+\cos 2a)}{\cos a+\cos 2a} = 2\cos a.$$

Ответ: $$2\cos a$$