Упр.1306 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

2) sin2 (a + 2b + sin2 (a — 2b) — 1.

1. $$\cos^2(\alpha+2\beta)+\sin^2(\alpha-2\beta)-1$$

   Используем тождество $$\sin^2 x=1-\cos^2 x$$:

   $$ \cos^2(\alpha+2\beta)+\sin^2(\alpha-2\beta)-1 =\cos^2(\alpha+2\beta)-\cos^2(\alpha-2\beta) $$

   Применим формулу разности квадратов:

   $$ \cos^2(\alpha+2\beta)-\cos^2(\alpha-2\beta) =(\cos(\alpha+2\beta)-\cos(\alpha-2\beta))(\cos(\alpha+2\beta)+\cos(\alpha-2\beta)) $$

   По формулам приведения:

   $$ \cos(\alpha+2\beta)-\cos(\alpha-2\beta)=-2\sin\alpha\sin2\beta $$
   $$ \cos(\alpha+2\beta)+\cos(\alpha-2\beta)=2\cos\alpha\cos2\beta $$

   Тогда
   $$ (-2\sin\alpha\sin2\beta)(2\cos\alpha\cos2\beta) =-4\sin\alpha\cos\alpha\sin2\beta\cos2\beta =-\sin2\alpha\sin4\beta. $$

2. $$\sin^2(\alpha+2\beta)+\sin^2(\alpha-2\beta)-1$$

   Используем тождество $$\sin^2 x=1-\cos^2 x$$:

   $$ \sin^2(\alpha+2\beta)+\sin^2(\alpha-2\beta)-1 =\sin^2(\alpha+2\beta)-\cos^2(\alpha-2\beta) $$

   Представим как разность квадратов:

   $$ \sin^2(\alpha+2\beta)-\cos^2(\alpha-2\beta) =(\sin(\alpha+2\beta)-\cos(\alpha-2\beta))(\sin(\alpha+2\beta)+\cos(\alpha-2\beta)) $$

   После раскрытия скобок и группировки получаем:

   $$ (\sin\alpha-\cos\alpha)(\sin\alpha+\cos\alpha)(\cos2\beta-\sin2\beta)(\cos2\beta+\sin2\beta) $$

   Тогда
   $$ (\sin^2\alpha-\cos^2\alpha)(\cos^2 2\beta-\sin^2 2\beta) =-\cos2\alpha\cdot\cos4\beta. $$

Ответ

1) $$-\sin2\alpha\cdot\sin4\beta$$
2) $$-\cos2\alpha\cdot\cos4\beta$$