Упр.1304 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Упростить выражение (1304—1309).

Преобразуем выражение, используя тригонометрические формулы:

$$\frac{5\cos x-3\sin x}{\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)+\sin(-x)}-\frac{\sin 2x-8\sin^2 x}{\cos 2x}$$

Так как $$\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x$$, $$\sin(-x)=-\sin x$$, а $$\sin 2x=2\sin x\cos x$$ и $$8\sin^2 x=8(1-\cos^2 x)$$, получаем:

$$\frac{5\cos x-3\sin x}{\cos x-\sin x}-\frac{\sin 2x-8\sin^2 x}{\cos 2x} = \frac{5\cos x-3\sin x}{\cos x-\sin x}-\frac{\sin 2x-4(1-\cos 2x)}{\cos 2x}$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{(5\cos x-3\sin x)(\cos x+\sin x)-\sin 2x+8\sin^2 x}{(\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x)}$$

Раскроем скобки в числителе:

$$5\cos^2 x+5\sin x\cos x-3\sin x\cos x-3\sin^2 x-\sin 2x+8\sin^2 x$$

Так как $$\sin 2x=2\sin x\cos x$$, то

$$5\cos^2 x+2\sin x\cos x+5\sin^2 x-2\sin x\cos x=5(\cos^2 x+\sin^2 x)=5$$

А знаменатель равен:

$$(\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x)=\cos^2 x-\sin^2 x=\cos 2x$$

Следовательно,

$$\frac{5}{\cos 2x}$$

Ответ

$$\frac{5}{\cos 2x}$$