Упр.1301 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Алимов, Колягин, Ткачёва 11 класс, Просвещение: 1301

1. $$\frac{1+\cos 2a}{2\cos a}=\frac{2\cos^2 a}{2\cos a}=\cos a.$$

2. $$\frac{\tg a-\sin a}{\tg a+\sin a}=\frac{\frac{\sin a}{\cos a}-\sin a}{\frac{\sin a}{\cos a}+\sin a} =\frac{\sin a-\sin a\cos a}{\sin a+\sin a\cos a} =\frac{1-\cos a}{1+\cos a}=\tg^2\frac a2.$$

3. $$\frac{\sin a-\sin 3a+\sin 5a}{\cos a+\cos 3a+\cos 5a} =\frac{\sin 3a+(\sin a+\sin 5a)}{\cos 3a+(\cos a+\cos 5a)}.$$

   По формулам суммы в произведение:
   $$\sin a+\sin 5a=2\sin 3a\cos 2a,$$
   $$\cos a+\cos 5a=2\cos 3a\cos 2a.$$

   Тогда
   $$\frac{\sin 3a+2\sin 3a\cos 2a}{\cos 3a+2\cos 3a\cos 2a} =\frac{\sin 3a(1+2\cos 2a)}{\cos 3a(1+2\cos 2a)}=\tg 3a.$$

4. $$\frac{2\sin 2a+\sin 4a}{2\sin 2a-\sin 4a} =\frac{2\sin 2a+2\sin 2a\cos 2a}{2\sin 2a-2\sin 2a\cos 2a}.$$

   Выносим общий множитель:
   $$\frac{2\sin 2a(1+\cos 2a)}{2\sin 2a(1-\cos 2a)} =\frac{1+\cos 2a}{1-\cos 2a}.$$

   Используем формулы:
   $$1+\cos 2a=2\cos^2 a,\qquad 1-\cos 2a=2\sin^2 a.$$

   Тогда
   $$\frac{1+\cos 2a}{1-\cos 2a}=\frac{2\cos^2 a}{2\sin^2 a}=\ctg^2 a.$$

Ответ

1) $$\cos a$$; 2) $$\tg^2\frac a2$$; 3) $$\tg 3a$$; 4) $$\ctg^2 a$$.