Упр.1299 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. 1299

1) Преобразуем выражение:

$$\frac{1-\tg^2\left(\frac{\pi}{4}-a\right)}{1+\tg^2\left(\frac{\pi}{4}-a\right)}$$

Используем формулу $$\tg x=\frac{\sin x}{\cos x}$$:

$$\frac{1-\dfrac{\sin^2\left(\frac{\pi}{4}-a\right)}{\cos^2\left(\frac{\pi}{4}-a\right)}}{1+\dfrac{\sin^2\left(\frac{\pi}{4}-a\right)}{\cos^2\left(\frac{\pi}{4}-a\right)}} = \frac{\cos^2\left(\frac{\pi}{4}-a\right)-\sin^2\left(\frac{\pi}{4}-a\right)}{\cos^2\left(\frac{\pi}{4}-a\right)+\sin^2\left(\frac{\pi}{4}-a\right)}$$

Так как $$\cos^2 x+\sin^2 x=1,$$ получаем:

$$\cos^2\left(\frac{\pi}{4}-a\right)-\sin^2\left(\frac{\pi}{4}-a\right) = \cos\left(2\left(\frac{\pi}{4}-a\right)\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2}-2a\right) = \sin 2a$$

Ответ: $$\sin 2a$$.

2) Преобразуем выражение:

$$\frac{\sin 2a}{1+\cos 2a}$$

Используем формулы $$\sin 2a=2\sin a\cos a$$ и $$1+\cos 2a=2\cos^2 a$$:

$$\frac{\sin 2a}{1+\cos 2a} = \frac{2\sin a\cos a}{2\cos^2 a} = \frac{\sin a}{\cos a} = \tg a$$

Ответ: $$\tg a$$.