Упр.1297 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Упростить выражение (1297—1302).

$$\frac{\cos \alpha+\sin \alpha}{\cos \alpha-\sin \alpha}-\tg\left(\frac{\pi}{4}+\alpha\right)$$

Используем формулу:

$$\tg\left(\frac{\pi}{4}+\alpha\right)=\frac{\tg \frac{\pi}{4}+\tg \alpha}{1-\tg \frac{\pi}{4}\tg \alpha}=\frac{1+\tg \alpha}{1-\tg \alpha}.$$

Тогда

$$\frac{\cos \alpha+\sin \alpha}{\cos \alpha-\sin \alpha}-\tg\left(\frac{\pi}{4}+\alpha\right)=\frac{\cos \alpha+\sin \alpha}{\cos \alpha-\sin \alpha}-\frac{1+\tg \alpha}{1-\tg \alpha}.$$

Преобразуем первую дробь, разделив числитель и знаменатель на $$\cos \alpha$$:

$$\frac{\cos \alpha+\sin \alpha}{\cos \alpha-\sin \alpha}=\frac{1+\tg \alpha}{1-\tg \alpha}.$$

Следовательно,

$$\frac{1+\tg \alpha}{1-\tg \alpha}-\frac{1+\tg \alpha}{1-\tg \alpha}=0.$$

Ответ: $$0$$

$$\tg^2\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)-\frac{1-\sin 2\alpha}{1+\sin 2\alpha}$$

Так как $$\tg\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\ctg \alpha,$$ получаем

$$\ctg^2\alpha-\frac{1-\sin 2\alpha}{1+\sin 2\alpha}.$$

Выразим через $$\sin \alpha$$ и $$\cos \alpha$$:

$$\ctg^2\alpha=\frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}, \qquad \sin 2\alpha=2\sin \alpha\cos \alpha.$$

Тогда

$$\frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}-\frac{1-2\sin \alpha\cos \alpha}{1+2\sin \alpha\cos \alpha}.$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{\cos^2\alpha(1+2\sin \alpha\cos \alpha)-\sin^2\alpha(1-2\sin \alpha\cos \alpha)}{\sin^2\alpha(1+2\sin \alpha\cos \alpha)}$$

$$=\frac{\cos^2\alpha-\sin^2\alpha+2\sin \alpha\cos \alpha(\cos^2\alpha+\sin^2\alpha)}{\sin^2\alpha(1+\sin 2\alpha)}$$

$$=\frac{\cos 2\alpha+\sin 2\alpha}{\sin^2\alpha(1+\sin 2\alpha)}.$$

Так как $$\sin^2\alpha=\frac{1-\cos 2\alpha}{2},$$ можно оставить ответ в виде

$$\frac{\cos 2\alpha+\sin 2\alpha}{\sin^2\alpha(1+\sin 2\alpha)}.$$

Ответ: $$\frac{\cos 2\alpha+\sin 2\alpha}{\sin^2\alpha(1+\sin 2\alpha)}$$