Упр.1292 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Алимов, Колягин, Ткачёва 11 класс, Просвещение: 1292 Доказать тождество

Преобразуем левую часть тождества:

$$ \frac{\cos^2 x}{1+\sin x}-\frac{\sin^2 x}{1-\cos x} = \frac{\cos^2 x(1-\cos x)-\sin^2 x(1+\sin x)}{(1+\sin x)(1-\cos x)} $$

$$ = \frac{\cos^2 x-\cos^3 x-\sin^2 x-\sin^3 x}{(1+\sin x)(1-\cos x)} = \frac{(\cos^2 x-\sin^2 x)-(\cos^3 x+\sin^3 x)}{(1+\sin x)(1-\cos x)} $$

$$ = \frac{(\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x)-(\cos x+\sin x)(\cos^2 x-\cos x\sin x+\sin^2 x)}{(1+\sin x)(1-\cos x)} $$

$$ = \frac{(\cos x+\sin x)\bigl((\cos x-\sin x)-(1-\cos x\sin x)\bigr)}{(1+\sin x)(1-\cos x)} $$

$$ = \frac{(\cos x+\sin x)\bigl(\cos x+\cos x\sin x-1-\sin x\bigr)}{(1+\sin x)(1-\cos x)} $$

$$ = \frac{(\cos x+\sin x)\bigl(\cos x(1+\sin x)-(1+\sin x)\bigr)}{(1+\sin x)(1-\cos x)} $$

$$ = \frac{(\cos x+\sin x)(1+\sin x)(\cos x-1)}{(1+\sin x)(1-\cos x)} = -(\cos x+\sin x) $$

$$ = -\sin x-\cos x. $$

Тождество доказано.

Ответ

$$ \frac{\cos^2 x}{1+\sin x}-\frac{\sin^2 x}{1-\cos x}=-\sin x-\cos x $$