Упр.1291 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Алимов, Колягин, Ткачёва 11 класс, Просвещение: 1291

Преобразуем выражение, используя формулы:

$$\sin(\pi-a)=\sin a,$$
$$1-2\cos^2 a=-(2\cos^2 a-1)=-\cos 2a,$$
$$1-2\sin^2 a=\cos 2a,$$
$$\sin 2a=2\sin a\cos a.$$

Тогда

$$ \frac{\sin 2a}{2(1-2\cos^2 a)}+\frac{\sin a\cdot \cos(\pi-a)}{1-2\sin^2 a} = \frac{\sin 2a}{2(1-2\cos^2 a)}+\frac{\sin a\cdot \sin a}{1-2\sin^2 a}. $$

Но удобнее сразу привести оба слагаемых к общему виду:

$$ \frac{\sin 2a}{2(1-2\cos^2 a)}+\frac{\sin a\cdot \cos(\pi-a)}{1-2\sin^2 a} = \frac{\sin 2a}{2(-\cos 2a)}+\frac{\sin a\cdot \sin a}{\cos 2a}. $$

После преобразований получаем:

$$ \frac{\sin 2a}{2(1-2\cos^2 a)}+\frac{\sin a\cdot \cos(\pi-a)}{1-2\sin^2 a} = -\frac{\sin 2a}{2\cos 2a} = -\tg 2a. $$

Ответ

$$-\tg 2a$$