Упр.129 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
- Построить график функции и указать её область определения, множество значений и промежутки возрастания и убывания; выяснить, является ли функция ограниченной сверху (снизу):
1) $$y=|x|^{\frac{1}{3}}$$;
2) $$y=|x|^5$$;
3) $$y=|x|^3+1$$;
4) $$y=|x|^{\frac{1}{5}}-2$$;
5) $$y=|x+5|^{\frac{1}{3}}$$;
6) $$y=|2x|^{-3}$$.
1) $$y=|x|^{\frac13}$$
Функция чётная, так как $$y(-x)=|-x|^{\frac13}=|x|^{\frac13}=y(x).$$
При $$x\ge 0$$ имеем $$y=x^{\frac13}.$$
Область определения: $$D(y)=\mathbb{R}.$$
Множество значений: $$E(y)=[0;+\infty).$$
Функция убывает на $$(-\infty;0)$$ и возрастает на $$(0;+\infty).$$
Функция ограничена снизу, но не ограничена сверху.
Некоторые точки графика: $$\left(0;0\right),\ \left(1;1\right),\ \left(8;2\right).$$
2) $$y=|x|^5$$
Функция чётная, так как $$y(-x)=|-x|^5=|x|^5=y(x).$$
При $$x\ge 0$$ имеем $$y=x^5.$$
Область определения: $$D(y)=\mathbb{R}.$$
Множество значений: $$E(y)=[0;+\infty).$$
Функция убывает на $$(-\infty;0)$$ и возрастает на $$(0;+\infty).$$
Функция ограничена снизу, но не ограничена сверху.
Некоторые точки графика: $$\left(0;0\right),\ \left(1;1\right),\ \left(2;32\right).$$
3) $$y=|x|^3+1$$
Функция чётная, так как $$y(-x)=|-x|^3+1=|x|^3+1=y(x).$$
При $$x\ge 0$$ имеем $$y=x^3+1.$$
Область определения: $$D(y)=\mathbb{R}.$$
Множество значений: $$E(y)=[1;+\infty).$$
Функция убывает на $$(-\infty;0)$$ и возрастает на $$(0;+\infty).$$
Функция ограничена снизу, но не ограничена сверху.
Некоторые точки графика: $$\left(0;1\right),\ \left(1;2\right),\ \left(2;9\right).$$
4) $$y=|x|^{\frac15}-2$$
Функция чётная, так как $$y(-x)=|-x|^{\frac15}-2=|x|^{\frac15}-2=y(x).$$
При $$x\ge 0$$ имеем $$y=x^{\frac15}-2.$$
Область определения: $$D(y)=\mathbb{R}.$$
Множество значений: $$E(y)=[-2;+\infty).$$
Функция убывает на $$(-\infty;0)$$ и возрастает на $$(0;+\infty).$$
Функция ограничена снизу, но не ограничена сверху.
Некоторые точки графика: $$\left(0;-2\right),\ \left(1;-1\right),\ \left(32;0\right).$$
5) $$y=|x+2|^{\frac13}$$
Это график функции $$y=|x|^{\frac13},$$ сдвинутый на $$2$$ единицы влево.
Область определения: $$D(y)=\mathbb{R}.$$
Множество значений: $$E(y)=[0;+\infty).$$
Функция убывает на $$(-\infty;-2)$$ и возрастает на $$(-2;+\infty).$$
Функция ограничена снизу, но не ограничена сверху.
Некоторые точки графика: $$\left(-2;0\right),\ \left(-1;1\right),\ \left(6;2\right).$$
6) $$y=|2x|^{-3}=\dfrac{1}{|2x|^3}$$
Так как знаменатель не должен обращаться в нуль, то $$x\ne 0.$$
Функция чётная, так как $$y(-x)=|-2x|^{-3}=|2x|^{-3}=y(x).$$
Область определения: $$D(y)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty).$$
Множество значений: $$E(y)=(0;+\infty).$$
Функция возрастает на $$(-\infty;0)$$ и убывает на $$(0;+\infty).$$
Функция ограничена снизу, но не ограничена сверху.
Ответ
1) $$D(y)=\mathbb{R},\ E(y)=[0;+\infty),$$ убывает на $$(-\infty;0),$$ возрастает на $$(0;+\infty),$$ ограничена снизу.
2) $$D(y)=\mathbb{R},\ E(y)=[0;+\infty),$$ убывает на $$(-\infty;0),$$ возрастает на $$(0;+\infty),$$ ограничена снизу.
3) $$D(y)=\mathbb{R},\ E(y)=[1;+\infty),$$ убывает на $$(-\infty;0),$$ возрастает на $$(0;+\infty),$$ ограничена снизу.
4) $$D(y)=\mathbb{R},\ E(y)=[-2;+\infty),$$ убывает на $$(-\infty;0),$$ возрастает на $$(0;+\infty),$$ ограничена снизу.
5) $$D(y)=\mathbb{R},\ E(y)=[0;+\infty),$$ убывает на $$(-\infty;-2),$$ возрастает на $$(-2;+\infty),$$ ограничена снизу.
6) $$D(y)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty),\ E(y)=(0;+\infty),$$ возрастает на $$(-\infty;0),$$ убывает на $$(0;+\infty),$$ ограничена снизу.
