Упр.1289 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Доказать тождество.

Преобразуем левую часть:

$$\frac{1-(\sin a+\cos a)^2}{\sin a\cos a-\ctg a} = \frac{1-(\sin^2 a+2\sin a\cos a+\cos^2 a)}{\sin a\cos a-\frac{\cos a}{\sin a}}$$

Так как $$\sin^2 a+\cos^2 a=1,$$ получаем

$$\frac{-2\sin a\cos a}{\sin a\cos a-\frac{\cos a}{\sin a}} = \frac{-2\sin a\cos a}{\frac{\sin^2 a\cos a-\cos a}{\sin a}} = \frac{-2\sin^2 a\cos a}{\cos a(\sin^2 a-1)}.$$

Сократим на $$\cos a$$ и учтём, что $$\sin^2 a-1=-\cos^2 a$$:

$$\frac{-2\sin^2 a}{\sin^2 a-1} = \frac{2\sin^2 a}{1-\sin^2 a} = \frac{2\sin^2 a}{\cos^2 a} = 2\tg^2 a.$$

Следовательно,

$$\frac{1-(\sin a+\cos a)^2}{\sin a\cos a-\ctg a}=2\tg^2 a.$$

Ответ: тождество доказано.