Упр.1285 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1)

$$\left(\frac{a+\sqrt{ab}}{\sqrt{a^2+ab}}-\frac{\sqrt{ab+b^2}}{\sqrt{ab+b}}\right)^{-2} -\frac{\sqrt{a^3b}+\sqrt{ab^3}}{2ab}$$

Преобразуем корни:
$$\sqrt{a^2+ab}=\sqrt{a(a+b)}, \qquad \sqrt{ab+b^2}=\sqrt{b(a+b)},$$
$$\sqrt{a^3b}+\sqrt{ab^3}=\sqrt{ab}(a+b).$$
Тогда
$$\frac{a+\sqrt{ab}}{\sqrt{a(a+b)}}-\frac{\sqrt{ab+b^2}}{\sqrt{ab+b}} = \frac{\sqrt{a}(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{\sqrt{a}\sqrt{a+b}} -\frac{\sqrt{b}\sqrt{a+b}}{\sqrt{b}(\sqrt{a}+\sqrt{b})}$$
$$= \frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2-(a+b)}{\sqrt{a+b}\,(\sqrt{a}+\sqrt{b})} = \frac{2\sqrt{ab}}{\sqrt{a+b}\,(\sqrt{a}+\sqrt{b})}.$$
Следовательно,
$$\left(\frac{2\sqrt{ab}}{\sqrt{a+b}\,(\sqrt{a}+\sqrt{b})}\right)^{-2} = \frac{(\sqrt{a+b}\,(\sqrt{a}+\sqrt{b}))^2}{4ab} = \frac{(a+b)(a+2\sqrt{ab}+b)}{4ab}.$$
Вычтем второе слагаемое:
$$\frac{(a+b)(a+2\sqrt{ab}+b)}{4ab}-\frac{\sqrt{ab}(a+b)}{2ab} = \frac{(a+b)(a+2\sqrt{ab}+b)-2\sqrt{ab}(a+b)}{4ab}.$$
Тогда
$$\frac{(a+b)\bigl(a+2\sqrt{ab}+b-2\sqrt{ab}\bigr)}{4ab} = \frac{(a+b)^2}{4ab}.$$

Ответ: $$\frac{(a+b)^2}{4ab}$$

2)

$$(\sqrt{a}+\sqrt{b})^{-2}\left(\frac1a+\frac1b\right)+\frac{2\left(a^{-1/2}+b^{-1/2}\right)}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^3}$$

Преобразуем:
$$(\sqrt{a}+\sqrt{b})^{-2}\left(\frac1a+\frac1b\right) = \frac{1}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2}\cdot\frac{a+b}{ab},$$
$$\frac{2\left(a^{-1/2}+b^{-1/2}\right)}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^3} = \frac{2\left(\frac1{\sqrt{a}}+\frac1{\sqrt{b}}\right)}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^3} = \frac{2(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{\sqrt{ab}\,(\sqrt{a}+\sqrt{b})^3} = \frac{2}{\sqrt{ab}\,(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2}.$$
Приведём к общему знаменателю:
$$\frac{a+b}{ab(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2}+\frac{2\sqrt{ab}}{ab(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2} = \frac{a+b+2\sqrt{ab}}{ab(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2}.$$
Так как
$$a+b+2\sqrt{ab}=(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2,$$
получаем
$$\frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2}{ab(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2}=\frac1{ab}.$$

Ответ: $$\frac1{ab}$$