Упр.1281 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1281

1. $$\frac{x^{\frac12}}{1+x^{\frac12}}\cdot\left(\frac{x^{\frac12}}{1-x^{\frac12}}-\frac{1}{x^{\frac12}-x}\right)$$

   Так как $$x^{\frac12}=\sqrt{x}$$ и $$x=\left(\sqrt{x}\right)^2,$$ то

   $$ \frac{\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}\cdot\left(\frac{\sqrt{x}}{1-\sqrt{x}}-\frac{1}{\sqrt{x}(1-\sqrt{x})}\right) $$

   Приведём к общему знаменателю в скобках:

   $$ \frac{\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}\cdot\frac{x-1}{\sqrt{x}(1-\sqrt{x})} $$

   Сократим $$\sqrt{x}$$:

   $$ \frac{x-1}{(1+\sqrt{x})(1-\sqrt{x})} $$

   Используем формулу разности квадратов:

   $$ (1+\sqrt{x})(1-\sqrt{x})=1-x $$

   Тогда

   $$ \frac{x-1}{1-x}=-1 $$

2. $$ \frac{m+2m^{\frac12}+1}{2m^{\frac12}}\cdot\left(\frac{2m^{\frac12}}{m^{\frac12}-1}-\frac{4m^{\frac12}}{m-1}\right) $$

   Заметим, что

   $$ m+2m^{\frac12}+1=\left(m^{\frac12}+1\right)^2,\qquad m-1=\left(m^{\frac12}-1\right)\left(m^{\frac12}+1\right) $$

   Тогда

   $$ \frac{\left(m^{\frac12}+1\right)^2}{2m^{\frac12}}\cdot\left(\frac{2m^{\frac12}}{m^{\frac12}-1}-\frac{4m^{\frac12}}{(m^{\frac12}-1)(m^{\frac12}+1)}\right) $$

   Приведём выражение в скобках к общему знаменателю:

   $$ \frac{\left(m^{\frac12}+1\right)^2}{2m^{\frac12}}\cdot \frac{2m^{\frac12}(m^{\frac12}+1)-4m^{\frac12}}{(m^{\frac12}-1)(m^{\frac12}+1)} $$

   Упростим числитель:

   $$ 2m^{\frac12}(m^{\frac12}+1)-4m^{\frac12}=2m+2m^{\frac12}-4m^{\frac12}=2m-2m^{\frac12}=2m^{\frac12}(m^{\frac12}-1) $$

   Тогда

   $$ \frac{\left(m^{\frac12}+1\right)^2}{2m^{\frac12}}\cdot \frac{2m^{\frac12}(m^{\frac12}-1)}{(m^{\frac12}-1)(m^{\frac12}+1)} =m^{\frac12}+1 $$

Ответ

1) $$-1$$; 2) $$m^{\frac12}+1$$.