Упр.1280 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Упростить выражение и найти его значение.

1. $$\left(1+\sqrt{\frac{a-x}{a+x}}\right)\left(1-\sqrt{\frac{a-x}{a+x}}\right)=1-\frac{a-x}{a+x}$$

   $$1-\frac{a-x}{a+x}=\frac{a+x-(a-x)}{a+x}=\frac{2x}{a+x}$$

   При $$a=5$$ и $$x=4$$ получаем:

   $$\frac{2x}{a+x}=\frac{2\cdot 4}{5+4}=\frac{8}{9}$$

   Ответ: $$\frac{8}{9}$$

2. $$\frac{a+\sqrt{a^2-x^2}}{a-\sqrt{a^2-x^2}}-\frac{a-\sqrt{a^2-x^2}}{a+\sqrt{a^2-x^2}}$$

   Приведём к общему знаменателю:

   $$\frac{\left(a+\sqrt{a^2-x^2}\right)^2-\left(a-\sqrt{a^2-x^2}\right)^2} {\left(a-\sqrt{a^2-x^2}\right)\left(a+\sqrt{a^2-x^2}\right)}$$

   Числитель:

   $$\left(a+\sqrt{a^2-x^2}\right)^2-\left(a-\sqrt{a^2-x^2}\right)^2 =4a\sqrt{a^2-x^2}$$

   Знаменатель:

   $$\left(a-\sqrt{a^2-x^2}\right)\left(a+\sqrt{a^2-x^2}\right) =a^2-\left(a^2-x^2\right)=x^2$$

   Значит,

   $$\frac{a+\sqrt{a^2-x^2}}{a-\sqrt{a^2-x^2}}-\frac{a-\sqrt{a^2-x^2}}{a+\sqrt{a^2-x^2}}=\frac{4a\sqrt{a^2-x^2}}{x^2}$$

   При $$a=3$$ и $$x=\sqrt{5}$$:

   $$\frac{4a\sqrt{a^2-x^2}}{x^2} =\frac{4\cdot 3\cdot \sqrt{3^2-(\sqrt5)^2}}{(\sqrt5)^2} =\frac{12\sqrt{9-5}}{5} =\frac{12\cdot 2}{5} =\frac{24}{5}=4{,}8$$

   Ответ: $$4{,}8$$