Упр.1279 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Алимов, Колягин, Ткачёва 11 класс, Просвещение: 1279

1. Упростим выражение

   $$\frac{1}{4+4\sqrt{a}}-\frac{1}{2-2a}+\frac{1}{4-4\sqrt{a}}$$

   Приведём первые и третьи дроби к общему знаменателю:

   $$\frac{1}{4(1+\sqrt{a})}+\frac{1}{4(1-\sqrt{a})}=\frac{(1-\sqrt{a})+(1+\sqrt{a})}{4(1-\sqrt{a})(1+\sqrt{a})}=\frac{2}{4(1-a)}=\frac{1}{2(1-a)}.$$

   Тогда

   $$\frac{1}{2(1-a)}-\frac{1}{2-2a}=\frac{1}{2(1-a)}-\frac{1}{2(1-a)}=0.$$

2. Упростим выражение

   $$\frac{a\sqrt{2}+a-\sqrt{2}-1}{a\sqrt{2}-2-\sqrt{2}+2a}$$

   Сгруппируем слагаемые:

   $$a\sqrt{2}+a-\sqrt{2}-1=\sqrt{2}(a-1)+(a-1)=(a-1)(\sqrt{2}+1),$$

   $$a\sqrt{2}-2-\sqrt{2}+2a=\sqrt{2}(a-1)+2(a-1)=(a-1)(\sqrt{2}+2).$$

   Тогда

   $$\frac{(a-1)(\sqrt{2}+1)}{(a-1)(\sqrt{2}+2)}=\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}+2}.$$

   Рационализуем знаменатель:

   $$\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}+2}\cdot\frac{2-\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}}=\frac{(\sqrt{2}+1)(2-\sqrt{2})}{4-2}=\frac{\sqrt{2}}{2}.$$

Ответ

1) $$0$$; 2) $$\frac{\sqrt{2}}{2}$$.