Упр.1278 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$\frac{a}{a^2-1}+\frac{a^2+a-1}{a^3-a^2+a-1}+\frac{a^2-a-1}{a^3+a^2+a+1}-\frac{2a^3}{a^4-1}$$

   Разложим знаменатели на множители:

   $$a^2-1=(a-1)(a+1),$$
   $$a^3-a^2+a-1=(a-1)(a^2+1),$$
   $$a^3+a^2+a+1=(a+1)(a^2+1),$$
   $$a^4-1=(a^2-1)(a^2+1).$$

   Тогда
   $$\frac{a}{(a-1)(a+1)}+\frac{a^2+a-1}{(a-1)(a^2+1)}+\frac{a^2-a-1}{(a+1)(a^2+1)}-\frac{2a^3}{(a^2-1)(a^2+1)}.$$

   Приведём к общему знаменателю $$(a-1)(a+1)(a^2+1)$$:

   $$\frac{a(a^2+1)+(a^2+a-1)(a+1)+(a^2-a-1)(a-1)-2a^3}{(a-1)(a+1)(a^2+1)}.$$

   Раскроем скобки в числителе:

   $$a(a^2+1)=a^3+a,$$
   $$(a^2+a-1)(a+1)=a^3+2a^2-1,$$
   $$(a^2-a-1)(a-1)=a^3-2a^2+1.$$

   Тогда числитель равен
   $$a^3+a+a^3+2a^2-1+a^3-2a^2+1-2a^3=a.$$

   Получаем
   $$\frac{a}{(a-1)(a+1)(a^2+1)}=\frac{a}{a^4-1}.$$

2. $$\frac{1}{a^2+5a+6}+\frac{2a}{a^2+4a+3}+\frac{1}{(a+1)^2+a+1}-\frac{2}{a+3}$$

   Разложим знаменатели на множители:

   $$a^2+5a+6=(a+2)(a+3),$$
   $$a^2+4a+3=(a+1)(a+3),$$
   $$(a+1)^2+a+1=a^2+3a+2=(a+1)(a+2).$$

   Тогда
   $$\frac{1}{(a+2)(a+3)}+\frac{2a}{(a+1)(a+3)}+\frac{1}{(a+1)(a+2)}-\frac{2}{a+3}.$$

   Приведём к общему знаменателю $$(a+1)(a+2)(a+3)$$:

   $$\frac{(a+1)+2a(a+2)+(a+3)-2(a+1)(a+2)}{(a+1)(a+2)(a+3)}.$$

   Упростим числитель:

   $$(a+1)+2a(a+2)+(a+3)-2(a+1)(a+2)$$
   $$=a+1+2a^2+4a+a+3-2a^2-6a-4=0.$$

   Следовательно,
   $$\frac{0}{(a+1)(a+2)(a+3)}=0.$$

Ответ: 1) $$\frac{a}{a^4-1}$$; 2) $$0$$.