Упр.1276 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$\frac{\sin a\cos a}{\sin^2 a-\cos^2 a}$$ при $$\tan a=\frac{3}{4}$$; $$\sin a\cos a$$, если $$\sin a+\cos a=\frac{1}{3}$$.

1) $$\frac{\sin \alpha \cos \alpha}{\sin^2 \alpha-\cos^2 \alpha}$$ при $$\tg \alpha=\frac34$$.

Преобразуем выражение:

$$\frac{\sin \alpha \cos \alpha}{\sin^2 \alpha-\cos^2 \alpha} = -\frac{1}{2}\cdot \frac{\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha} = -\frac{1}{2}\tg 2\alpha.$$

Используем формулу:

$$\tg 2\alpha=\frac{2\tg \alpha}{1-\tg^2 \alpha}.$$

Тогда

$$-\frac{1}{2}\tg 2\alpha = -\frac{1}{2}\cdot \frac{2\tg \alpha}{1-\tg^2 \alpha} = -\frac{\tg \alpha}{1-\tg^2 \alpha} = \frac{\tg \alpha}{\tg^2 \alpha-1}.$$

Подставим $$\tg \alpha=\frac34$$:

$$\frac{\tg \alpha}{\tg^2 \alpha-1} = \frac{\frac34}{\left(\frac34\right)^2-1} = \frac{\frac34}{\frac{9}{16}-1} = \frac{\frac34}{-\frac{7}{16}} = -\frac{12}{7}.$$

2) $$\sin \alpha \cos \alpha$$, если $$\sin \alpha+\cos \alpha=\frac13$$.

Возведём равенство в квадрат:

$$\left(\sin \alpha+\cos \alpha\right)^2=\left(\frac13\right)^2.$$

Получаем:

$$\sin^2 \alpha+2\sin \alpha \cos \alpha+\cos^2 \alpha=\frac19.$$

Так как $$\sin^2 \alpha+\cos^2 \alpha=1$$, то

$$1+2\sin \alpha \cos \alpha=\frac19.$$

Отсюда

$$2\sin \alpha \cos \alpha=\frac19-1=-\frac89,$$

$$\sin \alpha \cos \alpha=-\frac49.$$

Ответ: 1) $$-\frac{12}{7}$$; 2) $$-\frac49$$.