Упр.1264 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Пусть $$00$$, лежит внутри отрезка $$[a;b]$$.

Пусть $$0<a<b.$$

Ход решения

1. Докажем, что точка $$\frac{a+b}{2}$$ является серединой отрезка $$[a;b].$$

   Найдём расстояния от этой точки до концов отрезка:

   $$\left|\frac{a+b}{2}-a\right| =\left|\frac{a+b-2a}{2}\right| =\frac{b-a}{2},$$

   $$\left|b-\frac{a+b}{2}\right| =\left|\frac{2b-a-b}{2}\right| =\frac{b-a}{2}.$$

   Оба расстояния равны, значит, точка $$\frac{a+b}{2}$$ делит отрезок $$[a;b]$$ пополам и является его серединой.

2. Докажем, что точка $$\frac{a+bc}{1+c}$$ при $$c>0$$ лежит внутри отрезка $$[a;b].$$

   Сравним её с числом $$a$$:

   $$\frac{a+bc}{1+c}-a =\frac{a+bc-a-ac}{1+c} =\frac{c(b-a)}{1+c}>0,$$

   так как $$c>0$$ и $$b-a>0.$$ Значит,

   $$\frac{a+bc}{1+c}>a.$$

   Теперь сравним её с числом $$b$$:

   $$b-\frac{a+bc}{1+c} =\frac{b(1+c)-a-bc}{1+c} =\frac{b-a}{1+c}>0.$$

   Следовательно,

   $$\frac{a+bc}{1+c}<b.$$

   Итак,

   $$a<\frac{a+bc}{1+c}<b,$$

   значит, точка $$\frac{a+bc}{1+c}$$ лежит внутри отрезка $$[a;b].$$

Ответ

1) $$\frac{a+b}{2}$$ — середина отрезка $$[a;b].$$ 2) $$\frac{a+bc}{1+c}$$ при $$c>0$$ лежит внутри отрезка $$[a;b].$$