Упр.1263 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Имеют ли общие точки промежутки:

1. $$[1;\,3\sqrt{2}+2\sqrt{7}]$$ и $$[3\sqrt{3}+4;\,15]$$;
2. $$\left(0;\,\sqrt{27}+\sqrt{6}\right)$$ и $$\left(\sqrt{48}-1;\,10\right)$$;
3. $$[2;\,2\sqrt{5}+2\sqrt{6}]$$ и $$\left(3\sqrt{2}+\sqrt{22};\,11\right)$$;
4. $$[1;\,1+\sqrt{3}]$$ и $$\left(\frac{2}{\sqrt{3}-1};\,4\right)$$?

1) Сравним правую границу первого промежутка и левую границу второго:

$$3\sqrt2+2\sqrt7=\sqrt{(3\sqrt2+2\sqrt7)^2}=\sqrt{18+28+12\sqrt{14}}=\sqrt{46+12\sqrt{14}}$$

$$3\sqrt3+4=\sqrt{(3\sqrt3+4)^2}=\sqrt{27+16+24\sqrt3}=\sqrt{43+24\sqrt3}$$

Оценим числа:

$$3\sqrt2+2\sqrt7\approx 8.99,\qquad 3\sqrt3+4\approx 9.20$$

Значит, промежутки пересекаются.

2) Сравним правую границу первого промежутка и левую границу второго:

$$\sqrt{27}+\sqrt6=3\sqrt3+\sqrt6$$

$$\sqrt{48}-1=4\sqrt3-1$$

Оценим:

$$\sqrt{27}+\sqrt6\approx 7.90,\qquad \sqrt{48}-1\approx 5.93$$

Так как правая граница первого промежутка больше левой границы второго, промежутки имеют общие точки.

3) Сравним правую границу первого промежутка и левую границу второго:

$$2\sqrt5+2\sqrt6\approx 9.36$$

$$3\sqrt2+\sqrt{22}\approx 9.15$$

Так как $$2\sqrt5+2\sqrt6>3\sqrt2+\sqrt{22},$$ промежутки имеют общие точки.

4) Найдём левую границу второго промежутка:

$$\frac{2}{\sqrt3-1}=\frac{2(\sqrt3+1)}{(\sqrt3-1)(\sqrt3+1)}=\frac{2(\sqrt3+1)}{3-1}=\sqrt3+1$$

Тогда имеем промежутки $$[1;1+\sqrt3]$$ и $$(\sqrt3+1;4).$$

Они не пересекаются, так как число $$\sqrt3+1$$ не входит ни в один из них.

Ответ

1) имеют; 2) имеют; 3) имеют; 4) не имеют.