Упр.1262 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Пусть $$a$$ — рациональное число, $$b$$ — иррациональное число, $$a \ne 0$$, $$b \ne 0$$. Доказать, что $$a+b$$, $$a\cdot b$$, $$\frac{b}{a}$$ — иррациональные числа.

Пусть $$a$$ — рациональное число, $$b$$ — иррациональное число, $$a \ne 0$$, $$b \ne 0$$. Докажем, что $$a+b$$, $$ab$$, $$\dfrac{a}{b}$$, $$\dfrac{b}{a}$$ — иррациональные числа.

Ход решения

1. Предположим, что $$a+b$$ — рациональное число. Тогда

   $$b=(a+b)-a.$$

   Правая часть — разность двух рациональных чисел, значит, $$b$$ рационально. Это противоречит условию. Следовательно, $$a+b$$ — иррациональное число.

2. Предположим, что $$ab$$ — рациональное число. Тогда

   $$b=\dfrac{ab}{a}.$$

   Так как $$ab$$ и $$a$$ рациональны, то $$b$$ было бы рациональным числом. Получаем противоречие. Значит, $$ab$$ — иррациональное число.

3. Предположим, что $$\dfrac{a}{b}$$ — рациональное число. Тогда

   $$\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{a}\cdot \dfrac{a}{b}.$$

   Правая часть — произведение рациональных чисел, значит, $$\dfrac{1}{b}$$ рационально. Тогда и $$b=\dfrac{1}{1/b}$$ рационально, что невозможно. Следовательно, $$\dfrac{a}{b}$$ — иррациональное число.

4. Предположим, что $$\dfrac{b}{a}$$ — рациональное число. Тогда

   $$b=a\cdot \dfrac{b}{a}.$$

   Правая часть — произведение рациональных чисел, значит, $$b$$ рационально. Это противоречит условию. Следовательно, $$\dfrac{b}{a}$$ — иррациональное число.

Ответ

$$a+b,\;ab,\;\dfrac{a}{b},\;\dfrac{b}{a}$$ — иррациональные числа.