Упр.1252 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Алимов, Колягин, Ткачёва 11 класс, Просвещение: 1252 Какое из чисел больше:

1. Сравним числа $$\sqrt{18}$$ и $$4^{\log_2 3+\log_4 \frac{5}{11}}.$$

   Преобразуем второе число:
   $$4^{\log_2 3+\log_4 \frac{5}{11}}=4^{\log_2 3}\cdot 4^{\log_4 \frac{5}{11}}=2^{2\log_2 3}\cdot \frac{5}{11}=3^2\cdot \frac{5}{11}=\frac{45}{11}.$$

   Теперь сравним:
   $$\sqrt{18}=3\sqrt{2}, \qquad \frac{45}{11}.$$
   Возведём в квадрат:
   $$(\sqrt{18})^2=18,$$
   $$\left(\frac{45}{11}\right)^2=\frac{2025}{121}.$$
   Так как
   $$18=\frac{2178}{121}>\frac{2025}{121},$$
   то
   $$\sqrt{18}>\frac{45}{11}.$$

2. Сравним числа $$\sqrt[3]{18}$$ и $$\left(\frac16\right)^{\log_6 2-\frac12\log_{\sqrt6} 5}.$$

   Упростим второе число:
   $$ \left(\frac16\right)^{\log_6 2-\frac12\log_{\sqrt6} 5} =(6^{-1})^{\log_6 2-\frac12\log_{\sqrt6} 5} =6^{-\log_6 2+\frac12\log_{\sqrt6} 5}. $$

   Так как
   $$\log_{\sqrt6} 5=\frac{\log_6 5}{\log_6 \sqrt6}=\frac{\log_6 5}{1/2}=2\log_6 5,$$
   то
   $$ 6^{-\log_6 2+\frac12\log_{\sqrt6} 5} =6^{-\log_6 2+\log_6 5} =6^{\log_6 \frac52} =\frac52. $$

   Сравним:
   $$\sqrt[3]{18} \quad \text{и} \quad \frac52.$$
   Возведём в куб:
   $$ (\sqrt[3]{18})^3=18,\qquad \left(\frac52\right)^3=\frac{125}{8}. $$
   Приведём к общему знаменателю:
   $$ 18=\frac{144}{8}>\frac{125}{8}, $$
   значит,
   $$\sqrt[3]{18}>\frac52.$$

Ответ

1) $$\sqrt{18}$$ больше.
2) $$\sqrt[3]{18}$$ больше.