Упр.1250 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Сравнить числа: 1) $$2{,}5^{\frac{1}{7}}$$ и $$2{,}5^{0{,}5}$$; 2) $$0{,}2^{\frac{2}{3}}$$ и $$0{,}2^{\frac{3}{4}}$$; 3) $$\log_{3{,}1}(\sqrt{10})$$ и $$\log_{3{,}1}(3)$$; 4) $$\log_{0{,}3}\left(\frac{4}{5}\right)$$ и $$\log_{0{,}3}\left(\frac{3}{4}\right)$$.

1) Так как основания степеней равны и $$2{,}5>1,$$ функция $$f(x)=2{,}5^x$$ возрастает. Сравним показатели:

$$\frac17<\frac12.$$

Следовательно,

$$2{,}5^{\frac17}<2{,}5^{0{,}5}.$$

2) Так как $$0{,}2<1,$$ функция $$f(x)=0{,}2^x$$ убывает. Сравним показатели:

$$\frac23=\frac{8}{12}, \qquad \frac34=\frac{9}{12}, \qquad \frac{8}{12}<\frac{9}{12}.$$

Значит,

$$0{,}2^{\frac23}>0{,}2^{\frac34}.$$

3) Так как $$3{,}1>1,$$ функция $$f(x)=\log_{3{,}1}x$$ возрастает. Сравним аргументы:

$$\sqrt{10}>3,$$

поскольку

$$\sqrt{10}>\sqrt{9}=3.$$

Следовательно,

$$\log_{3{,}1}\sqrt{10}>\log_{3{,}1}3.$$

4) Так как $$0{,}3<1,$$ функция $$f(x)=\log_{0{,}3}x$$ убывает. Сравним аргументы:

$$\frac45=\frac{16}{20}, \qquad \frac34=\frac{15}{20}, \qquad \frac{16}{20}>\frac{15}{20}.$$

Значит,

$$\log_{0{,}3}\frac45<\log_{0{,}3}\frac34.$$

Ответ:

$$2{,}5^{\frac17}<2{,}5^{0{,}5}, \qquad 0{,}2^{\frac23}>0{,}2^{\frac34}, \qquad \log_{3{,}1}\sqrt{10}>\log_{3{,}1}3, \qquad \log_{0{,}3}\frac45<\log_{0{,}3}\frac34.$$