Упр.1250 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
1) 2,5^1/7 и 2,5^0,5;
2) 0,2^2/3 и 0,2^3/4;
3) log 3,1(корень 10) и log 3,1(3);
4) log 0,3(4/5) и log 0,3 (3/4).
Сравним числа $$2{,}5^{\frac17}$$ и $$2{,}5^{0{,}5}.$$
Так как $$2{,}5>1,$$ функция $$y=2{,}5^x$$ возрастает. Поэтому достаточно сравнить показатели:
$$\frac17<\frac12,$$ значит
$$2{,}5^{\frac17}<2{,}5^{0{,}5}.$$
Сравним числа $$0{,}2^{\frac23}$$ и $$0{,}2^{\frac34}.$$
Так как $$0{,}2<1,$$ функция $$y=0{,}2^x$$ убывает. Сравним показатели:
$$\frac23=\frac{8}{12}, \qquad \frac34=\frac{9}{12}, \qquad \frac23<\frac34.$$
Для убывающей функции большему показателю соответствует меньшее значение, значит
$$0{,}2^{\frac23}>0{,}2^{\frac34}.$$
Сравним числа $$\log_{3{,}1}\sqrt{10}$$ и $$\log_{3{,}1}3.$$
Так как $$3{,}1>1,$$ функция $$y=\log_{3{,}1}x$$ возрастает. Сравним аргументы:
$$\sqrt{10}>3,$$ так как $$10>9.$$
Следовательно,
$$\log_{3{,}1}\sqrt{10}>\log_{3{,}1}3.$$
Сравним числа $$\log_{0{,}3}\frac45$$ и $$\log_{0{,}3}\frac34.$$
Так как $$0{,}3<1,$$ функция $$y=\log_{0{,}3}x$$ убывает. Сравним аргументы:
$$\frac45=\frac{16}{20}, \qquad \frac34=\frac{15}{20}, \qquad \frac45>\frac34.$$
Для убывающей функции большему аргументу соответствует меньшее значение, значит
$$\log_{0{,}3}\frac45<\log_{0{,}3}\frac34.$$
Ответ
1) $$2{,}5^{\frac17}<2{,}5^{0{,}5}$$; 2) $$0{,}2^{\frac23}>0{,}2^{\frac34}$$; 3) $$\log_{3{,}1}\sqrt{10}>\log_{3{,}1}3$$; 4) $$\log_{0{,}3}\frac45<\log_{0{,}3}\frac34$$.
