Упр.125 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
В одной системе координат построить графики функций, находя сначала их области определения и множества значений:
- 1) $$y=x^3$$ и $$y=x^{\frac{1}{3}}$$; 2) $$y=x^4$$ и $$y=x^{\frac{1}{4}}$$; 3) $$y=x^2$$ и $$y=x^{-2}$$; 4) $$y=x^5$$ и $$y=x^{-5}$$.
1) Для функций $$y=x^3$$ и $$y=x^{\frac13}$$:
$$y=x^3$$
Область определения: $$D(x^3)=\mathbb{R}.$$
Множество значений: $$E(x^3)=\mathbb{R}.$$
Функция нечётная.
$$y=x^{\frac13}$$
Область определения: $$D\!\left(x^{\frac13}\right)=\mathbb{R}.$$
Множество значений: $$E\!\left(x^{\frac13}\right)=\mathbb{R}.$$
Функция нечётная.
Для построения можно взять точки:
| $$x$$ | $$0$$ | $$1$$ | $$2$$ |
|---|---|---|---|
| $$y=x^3$$ | $$0$$ | $$1$$ | $$8$$ |
| $$y=x^{\frac13}$$ | $$0$$ | $$1$$ | $$\sqrt[3]{2}$$ |
2) Для функций $$y=x^4$$ и $$y=x^{\frac14}$$:
$$y=x^4$$
Область определения: $$D(x^4)=\mathbb{R}.$$
Множество значений: $$E(x^4)=[0;+\infty).$$
Функция чётная.
$$y=x^{\frac14}$$
Область определения: $$D\!\left(x^{\frac14}\right)=[0;+\infty).$$
Множество значений: $$E\!\left(x^{\frac14}\right)=[0;+\infty).$$
Для построения можно взять точки:
| $$x$$ | $$0$$ | $$1$$ | $$16$$ |
|---|---|---|---|
| $$y=x^4$$ | $$0$$ | $$1$$ | $$16$$ |
| $$y=x^{\frac14}$$ | $$0$$ | $$1$$ | $$2$$ |
3) Для функций $$y=x^2$$ и $$y=x^{-2}$$:
$$y=x^2$$
Область определения: $$D(x^2)=\mathbb{R}.$$
Множество значений: $$E(x^2)=[0;+\infty).$$
Функция чётная.
$$y=x^{-2}=\frac1{x^2}$$
Область определения: $$D(x^{-2})=\mathbb{R}\setminus\{0\}.$$
Множество значений: $$E(x^{-2})=(0;+\infty).$$
Функция убывает на $$(-\infty;0)$$ и на $$\left(0;+\infty\right).$$
Для построения можно взять точки:
| $$x$$ | $$-1$$ | $$1$$ |
|---|---|---|
| $$y=x^{-2}$$ | $$1$$ | $$1$$ |
4) Для функций $$y=x^5$$ и $$y=x^{-5}$$:
$$y=x^5$$
Область определения: $$D(x^5)=\mathbb{R}.$$
Множество значений: $$E(x^5)=\mathbb{R}.$$
Функция нечётная.
$$y=x^{-5}=\frac1{x^5}$$
Область определения: $$D(x^{-5})=\mathbb{R}\setminus\{0\}.$$
Множество значений: $$E(x^{-5})=\mathbb{R}\setminus\{0\}.$$
Функция убывает на всей области определения.
Для построения можно взять точки:
| $$x$$ | $$-1$$ | $$1$$ |
|---|---|---|
| $$y=x^{-5}$$ | $$-1$$ | $$1$$ |
Ответ
1) $$D=\mathbb{R},\ E=\mathbb{R}$$ для обеих функций.
2) $$D(x^4)=\mathbb{R},\ E(x^4)=[0;+\infty),\ D\!\left(x^{\frac14}\right)=[0;+\infty),\ E\!\left(x^{\frac14}\right)=[0;+\infty).$$
3) $$D(x^2)=\mathbb{R},\ E(x^2)=[0;+\infty),\ D(x^{-2})=\mathbb{R}\setminus\{0\},\ E(x^{-2})=(0;+\infty).$$
4) $$D(x^5)=\mathbb{R},\ E(x^5)=\mathbb{R},\ D(x^{-5})=\mathbb{R}\setminus\{0\},\ E(x^{-5})=\mathbb{R}\setminus\{0\}.$$
