Упр.123 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Построить график функции, указать её область определения и множество значений. Выяснить, является ли функция возрастающей (убывающей), является ли функция ограниченной, принимает ли она наибольшее (наименьшее) значение: 1) $$y=-(x-2)^3-1$$; 2) $$y=(x+3)^4+2$$.

1) Рассмотрим функцию $$y=-(x-2)^3-1.$$

Область определения: $$D(y)=(-\infty;+\infty).$$

Область значений: $$E(y)=(-\infty;+\infty).$$

График функции $$y=-x^3$$ сдвинут на 2 единицы вправо и на 1 единицу вниз, поэтому функция убывает на всей числовой прямой.

Функция не ограничена и не принимает ни наибольшего, ни наименьшего значения.

2) Рассмотрим функцию $$y=(x+3)^4+2.$$

Область определения: $$D(y)=(-\infty;+\infty).$$

Так как $$x^4\ge 0,$$ то

$$y=(x+3)^4+2\ge 2.$$

Следовательно, область значений:

$$E(y)=[2;+\infty).$$

График функции $$y=x^4$$ сдвинут на 3 единицы влево и на 2 единицы вверх, поэтому функция убывает на $$(-\infty;-3]$$ и возрастает на $$[-3;+\infty).$$

Функция ограничена снизу, наименьшее значение равно $$2$$ и достигается при $$x=-3.$$ Наибольшего значения функция не имеет.

Ответ

1) $$D(y)=(-\infty;+\infty),\ E(y)=(-\infty;+\infty);$$ функция убывает на всей числовой прямой, не ограничена, наибольшего и наименьшего значений не имеет.

2) $$D(y)=(-\infty;+\infty),\ E(y)=[2;+\infty);$$ функция убывает на $$(-\infty;-3]$$ и возрастает на $$[-3;+\infty);$$ ограничена снизу, $$y_{\min}=2$$ при $$x=-3,$$ наибольшего значения не имеет.