Упр.12 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Вычислить:
   1) $$\sqrt{\sqrt{7-2\sqrt{10}}+\sqrt{5}}$$
   2) $$\sqrt{\sqrt{16-6\sqrt{7}}+\sqrt{7}}\cdot 3$$
   3) $$\sqrt{\sqrt{8+2\sqrt{15}}-\sqrt{8-2\sqrt{15}}\cdot 2+7}$$

1)

$$\sqrt{\left(\sqrt{7-2\sqrt{10}}+\sqrt2\right)\cdot 2\sqrt5}$$

Заметим, что

$$7-2\sqrt{10}=(\sqrt5-\sqrt2)^2,$$

значит

$$\sqrt{7-2\sqrt{10}}=\sqrt5-\sqrt2.$$

Тогда

$$\sqrt{\left(\sqrt5-\sqrt2+\sqrt2\right)\cdot 2\sqrt5}=\sqrt{5\cdot 2\sqrt5}=\sqrt{2\cdot 5^2}=\sqrt{10}.$$

Ответ: $$\sqrt{10}$$

2)

$$\sqrt{\left(\sqrt{16-6\sqrt7}+\sqrt7\right)\cdot 3}$$

Так как

$$16-6\sqrt7=(3-\sqrt7)^2,$$

то

$$\sqrt{16-6\sqrt7}=3-\sqrt7.$$

Следовательно,

$$\sqrt{\left(3-\sqrt7+\sqrt7\right)\cdot 3}=\sqrt{3\cdot 3}=3.$$

Ответ: $$3$$

3)

$$\sqrt{\left(\sqrt{8+2\sqrt{15}}-\sqrt{8-2\sqrt{15}}\right)\cdot 2+7}$$

Представим подкоренные выражения в виде квадратов:

$$8+2\sqrt{15}=(\sqrt5+\sqrt3)^2,$$

$$8-2\sqrt{15}=(\sqrt5-\sqrt3)^2.$$

Тогда

$$\sqrt{8+2\sqrt{15}}=\sqrt5+\sqrt3,\qquad \sqrt{8-2\sqrt{15}}=\sqrt5-\sqrt3.$$

Подставим:

$$\sqrt{\left((\sqrt5+\sqrt3)-(\sqrt5-\sqrt3)\right)\cdot 2+7}=\sqrt{2\sqrt3\cdot 2+7}=\sqrt{4\sqrt3+7}.$$

Заметим, что

$$4\sqrt3+7=(2+\sqrt3)^2,$$

поэтому

$$\sqrt{4\sqrt3+7}=2+\sqrt3.$$

Ответ: $$2+\sqrt3$$