Упр.1183 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Два мальчика играют в игру «крестики-нолики» на поле $$3\times3$$. Первый случайным образом ставит в одну клетку крестик, второй случайным образом ставит нолик в одну из оставшихся 8 клеток. Найти вероятность того, что после этих ходов будут заняты заранее зафиксированные наблюдателем две клетки поля. Решить задачу двумя способами.

Обозначим через $$A$$ событие: наблюдатель угадал клетку, куда поставят крестик, а через $$B$$ — клетку, куда поставят нолик.

Первый способ

Вероятность угадать первый ход равна $$P(A)=\frac{1}{9}.$$

После этого остаётся $$8$$ клеток, значит вероятность угадать второй ход:

$$P(B)=\frac{1}{8}.$$

Так как две занятые клетки могут быть угаданы в любом порядке, получаем:

$$P=2\cdot P(A)\cdot P(B)=2\cdot \frac{1}{9}\cdot \frac{1}{8}=\frac{1}{36}.$$

Второй способ

Всего после двух ходов занятыми оказываются две клетки из девяти. Число всех возможных пар клеток:

$$C_9^2=\frac{9!}{2!\,7!}=\frac{9\cdot 8}{2}=36.$$

Благоприятный исход только один: наблюдатель должен указать именно эти две клетки.

Тогда

$$P=\frac{1}{36}.$$

Ответ: $$\frac{1}{36}$$