Упр.1182 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

В первом ящике находятся 8 белых и 9 чёрных шаров, во втором — 6 белых и 5 чёрных. Наугад из каждого ящика выбирают по одному шару. Найти вероятность того, что:

1. оба шара оказались белыми;
2. оба шара оказались чёрными;
3. из первого ящика извлекли белый шар, а из второго — чёрный;
4. из первого ящика извлекли чёрный, а из второго — белый шар;
5. хотя бы один шар оказался белым;
6. хотя бы один шар оказался чёрным.

Обозначим события:

• $$A$$ — из первого ящика вынули белый шар;
• $$\overline{A}$$ — из первого ящика вынули чёрный шар;
• $$B$$ — из второго ящика вынули белый шар;
• $$\overline{B}$$ — из второго ящика вынули чёрный шар.

Тогда

$$P(A)=\frac{8}{17}, \quad P(\overline{A})=\frac{9}{17}, \quad P(B)=\frac{6}{11}, \quad P(\overline{B})=\frac{5}{11}.$$

1. Оба шара белые:

   $$P(A B)=P(A)\cdot P(B)=\frac{8}{17}\cdot\frac{6}{11}=\frac{48}{187}.$$

2. Оба шара чёрные:

   $$P(\overline{A}\,\overline{B})=P(\overline{A})\cdot P(\overline{B})=\frac{9}{17}\cdot\frac{5}{11}=\frac{45}{187}.$$

3. Из первого ящика вынули белый шар, а из второго — чёрный:

   $$P(A\overline{B})=P(A)\cdot P(\overline{B})=\frac{8}{17}\cdot\frac{5}{11}=\frac{40}{187}.$$

4. Из первого ящика вынули чёрный шар, а из второго — белый:

   $$P(\overline{A}B)=P(\overline{A})\cdot P(B)=\frac{9}{17}\cdot\frac{6}{11}=\frac{54}{187}.$$

5. Хотя бы один шар белый:

   $$P=1-P(\overline{A}\,\overline{B})=1-\frac{45}{187}=\frac{142}{187}.$$

6. Хотя бы один шар чёрный:

   $$P=1-P(AB)=1-\frac{48}{187}=\frac{139}{187}.$$

Ответ: $$\frac{48}{187},\ \frac{45}{187},\ \frac{40}{187},\ \frac{54}{187},\ \frac{142}{187},\ \frac{139}{187}.$$