Упр.1170 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Наугад называется одно из первых: 1) девятнадцати; 2) двадцати натуральных чисел. Рассматриваются события: $$A$$ — названо число, кратное 4; $$B$$ — названо число, кратное 5. Выяснить, являются ли события $$A$$ и $$B$$ независимыми.

Пусть события:

$$A$$ — названо число, кратное $$4$$;

$$B$$ — названо число, кратное $$5$$.

1) Если наугад называется одно из первых $$19$$ натуральных чисел

Кратные $$4$$ среди них: $$4, 8, 12, 16$$, поэтому

$$P(A)=\frac{4}{19}.$$

Кратные $$5$$ среди них: $$5, 10, 15$$, поэтому

$$P(B)=\frac{3}{19}.$$

Чисел, кратных одновременно $$4$$ и $$5$$, среди первых $$19$$ нет, значит

$$P(AB)=0.$$

Найдём произведение вероятностей:

$$P(A)\cdot P(B)=\frac{4}{19}\cdot\frac{3}{19}=\frac{12}{361}\ne 0=P(AB).$$

Следовательно, события $$A$$ и $$B$$ не являются независимыми.

2) Если наугад называется одно из первых $$20$$ натуральных чисел

Кратные $$4$$ среди них: $$4, 8, 12, 16, 20$$, поэтому

$$P(A)=\frac{5}{20}=\frac{1}{4}.$$

Кратные $$5$$ среди них: $$5, 10, 15, 20$$, поэтому

$$P(B)=\frac{4}{20}=\frac{1}{5}.$$

Число, кратное одновременно $$4$$ и $$5$$, одно: $$20$$, значит

$$P(AB)=\frac{1}{20}.$$

Проверим независимость:

$$P(A)\cdot P(B)=\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{5}=\frac{1}{20}=P(AB).$$

Следовательно, события $$A$$ и $$B$$ являются независимыми.

Ответ

1) не являются; 2) являются.