Упр.116 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.
$$\left(\frac{4a^2-9a^{-2}}{2a-3a^{-1}}+\frac{a^2-4+3a^{-2}}{a-a^{-1}}\right)^2$$
Разложим числитель первой дроби на множители:
$$4a^2-9a^{-2}=(2a-3a^{-1})(2a+3a^{-1})$$Тогда
$$ \left(\frac{(2a-3a^{-1})(2a+3a^{-1})}{2a-3a^{-1}}+\frac{a^2-4+3a^{-2}}{a-a^{-1}}\right)^2 = \left((2a+3a^{-1})+\frac{a^2-4+3a^{-2}}{a-a^{-1}}\right)^2. $$Приведём к общему знаменателю:
$$ \left(\frac{(2a+3a^{-1})(a-a^{-1})+a^2-4+3a^{-2}}{a-a^{-1}}\right)^2. $$Раскроем скобки в числителе:
$$ (2a+3a^{-1})(a-a^{-1})=2a^2-2+3-3a^{-2}=2a^2+1-3a^{-2}. $$Тогда
$$ \left(\frac{2a^2+1-3a^{-2}+a^2-4+3a^{-2}}{a-a^{-1}}\right)^2 = \left(\frac{3a^2-3}{a-a^{-1}}\right)^2. $$Вынесем общий множитель:
$$ \left(\frac{3a(a-a^{-1})}{a-a^{-1}}\right)^2=(3a)^2=9a^2. $$$$\left(\frac{1}{(a+b)^{-2}}-\left(\frac{a-b}{a^3+b^3}\right)^{-1}\right)\cdot (ab)^{-1}$$
Используем свойства степеней:
$$ \frac{1}{(a+b)^{-2}}=(a+b)^2,\qquad \left(\frac{a-b}{a^3+b^3}\right)^{-1}=\frac{a^3+b^3}{a-b},\qquad (ab)^{-1}=\frac1{ab}. $$Получаем
$$ \left((a+b)^2-\frac{a^3+b^3}{a-b}\right)\cdot \frac1{ab}. $$Приведём к общему знаменателю:
$$ \frac{(a+b)^2(a-b)-(a^3+b^3)}{ab(a-b)}. $$Раскроем скобки:
$$ (a+b)^2(a-b)=(a^2+2ab+b^2)(a-b)=a^3+a^2b-ab^2-b^3. $$Тогда числитель равен
$$ a^3+a^2b-ab^2-b^3-a^3-b^3=a^2b-ab^2=ab(a-b). $$Следовательно,
$$ \frac{ab(a-b)}{ab(a-b)}=1. $$
Ответ
1) $$9a^2$$; 2) $$1$$.
