Упр.1147 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
- Бросаются две игральные кости и рассматриваются события:
1) \(A\) — на первой кости выпало число 6, \(B\) — на второй кости выпало чётное число;
2) \(A\) — на первой кости выпало нечётное число, \(B\) — на второй кости выпало число, кратное 3.
Убедиться с помощью формулы (1) в независимости событий \(A\) и \(B\).
1) Всего при бросании двух костей $$6\cdot 6=36$$ равновозможных исходов.
Событие $$A$$: на первой кости выпало число $$6$$. Тогда благоприятных исходов $$6$$, поэтому
$$P(A)=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}.$$
Событие $$B$$: на второй кости выпало чётное число $$2,4,6$$. Благоприятных исходов $$3\cdot 6=18$$, значит
$$P(B)=\frac{18}{36}=\frac{1}{2}.$$
Событие $$AB$$: на первой кости выпало $$6$$, а на второй — чётное число. Благоприятные исходы: $$(6,2), (6,4), (6,6)$$, их $$3$$, поэтому
$$P(AB)=\frac{3}{36}=\frac{1}{12}.$$
Проверим формулу независимости:
$$P(A)\cdot P(B)=\frac{1}{6}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{12}=P(AB).$$
Следовательно, события $$A$$ и $$B$$ независимы.
2) Всего при бросании двух костей $$36$$ равновозможных исходов.
Событие $$A$$: на первой кости выпало нечётное число $$1,3,5$$. Тогда
$$P(A)=\frac{3\cdot 6}{36}=\frac{1}{2}.$$
Событие $$B$$: на второй кости выпало число, кратное $$3$$, то есть $$3$$ или $$6$$. Тогда
$$P(B)=\frac{2\cdot 6}{36}=\frac{1}{3}.$$
Событие $$AB$$: на первой кости выпало нечётное число, а на второй — число, кратное $$3$$. Благоприятных исходов $$3\cdot 2=6$$, значит
$$P(AB)=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}.$$
Проверим формулу независимости:
$$P(A)\cdot P(B)=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}=\frac{1}{6}=P(AB).$$
Следовательно, события $$A$$ и $$B$$ независимы.
Ответ: в обоих случаях события независимы.
