Упр.114 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
- Упростить выражение.
$$\frac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{\sqrt[4]{x}-\sqrt[4]{y}}-\frac{\sqrt{x}+\sqrt[4]{xy}}{\sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{y}}$$
Представим корни через степени:
$$\sqrt{x}=x^{\frac12},\quad \sqrt[4]{x}=x^{\frac14},\quad \sqrt[4]{xy}=x^{\frac14}y^{\frac14}.$$Тогда
$$\frac{x^{\frac12}-y^{\frac12}}{x^{\frac14}-y^{\frac14}}-\frac{x^{\frac12}+x^{\frac14}y^{\frac14}}{x^{\frac14}+y^{\frac14}} = \frac{(x^{\frac14}-y^{\frac14})(x^{\frac14}+y^{\frac14})}{x^{\frac14}-y^{\frac14}} — \frac{x^{\frac14}(x^{\frac14}+y^{\frac14})}{x^{\frac14}+y^{\frac14}}.$$Сокращаем:
$$x^{\frac14}+y^{\frac14}-x^{\frac14}=y^{\frac14}.$$Ответ: $$\sqrt[4]{y}.$$
$$\frac{x-y}{\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{y}}-\frac{x+y}{\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}}$$
Используем формулу
$$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2).$$
Тогда
$$x-y=(\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{y})(\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{xy}+\sqrt[3]{y^2}),$$
$$x+y=(\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y})(\sqrt[3]{x^2}-\sqrt[3]{xy}+\sqrt[3]{y^2}).$$Подставим:
$$\frac{x-y}{\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{y}}-\frac{x+y}{\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}} = \left(\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{xy}+\sqrt[3]{y^2}\right) — \left(\sqrt[3]{x^2}-\sqrt[3]{xy}+\sqrt[3]{y^2}\right).$$Получаем:
$$2\sqrt[3]{xy}.$$Ответ: $$2\sqrt[3]{xy}.$$
$$\frac{\sqrt{x}-\sqrt[3]{y^2}}{\sqrt[4]{x}-\sqrt[3]{y}}+\sqrt[3]{y}$$
Заметим, что
$$\sqrt{x}=x^{\frac12},\quad \sqrt[3]{y^2}=y^{\frac23},\quad \sqrt[4]{x}=x^{\frac14}.$$
Тогда числитель дроби можно представить как разность квадратов:
$$x^{\frac12}-y^{\frac23}=(x^{\frac14}-y^{\frac13})(x^{\frac14}+y^{\frac13}).$$Поэтому
$$\frac{\sqrt{x}-\sqrt[3]{y^2}}{\sqrt[4]{x}-\sqrt[3]{y}} = \sqrt[4]{x}+\sqrt[3]{y}.$$Тогда всё выражение равно
$$\sqrt[4]{x}+\sqrt[3]{y}-\sqrt[3]{y}=\sqrt[4]{x}.$$Ответ: $$\sqrt[4]{x}.$$
$$\frac{x\sqrt{x}-y\sqrt{y}}{x\sqrt{y}-y\sqrt{x}}-1$$
Обозначим $$a=\sqrt{x},\quad b=\sqrt{y}.$$ Тогда
$$\frac{x\sqrt{x}-y\sqrt{y}}{x\sqrt{y}-y\sqrt{x}}-1 = \frac{a^3-b^3}{a^2b-ab^2}-1.$$Разложим на множители:
$$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2),\qquad a^2b-ab^2=ab(a-b).$$
Тогда
$$\frac{a^3-b^3}{a^2b-ab^2}-1 = \frac{a^2+ab+b^2}{ab}-1 = \frac{a^2+b^2}{ab}.$$Возвращаясь к переменным $$x$$ и $$y$$, получаем:
$$\frac{x+y}{\sqrt{xy}}.$$Ответ: $$\frac{x+y}{\sqrt{xy}}.$$
