Упр.113 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Задача

1) (корень 3 степени 7 — корень 3 степени 4)(корень 3 степени 49 + корень 3 степени 28 + корень 3 степени 16);
2) (корень 3 степени 4 — корень 3 степени 10 + корень 3 степени 25)(корень 3 степени 2 + корень 3 степени 5).

Подробный ответ

$$\left(\sqrt[3]{7}-\sqrt[3]{4}\right)\left(\sqrt[3]{49}+\sqrt[3]{28}+\sqrt[3]{16}\right)$$
представим второй множитель как сумму квадратов и произведения:
$$\sqrt[3]{49}=\left(\sqrt[3]{7}\right)^2,\quad \sqrt[3]{28}=\sqrt[3]{7}\cdot\sqrt[3]{4},\quad \sqrt[3]{16}=\left(\sqrt[3]{4}\right)^2.$$
Тогда
$$\left(\sqrt[3]{7}-\sqrt[3]{4}\right)\left(\left(\sqrt[3]{7}\right)^2+\sqrt[3]{7}\cdot\sqrt[3]{4}+\left(\sqrt[3]{4}\right)^2\right).$$
По формуле
$$\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)=a^3-b^3$$
получаем
$$\left(\sqrt[3]{7}\right)^3-\left(\sqrt[3]{4}\right)^3=7-4=3.$$
$$\left(\sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{10}+\sqrt[3]{25}\right)\left(\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{5}\right)$$
заметим, что
$$\sqrt[3]{4}=\left(\sqrt[3]{2}\right)^2,\quad \sqrt[3]{10}=\sqrt[3]{2}\cdot\sqrt[3]{5},\quad \sqrt[3]{25}=\left(\sqrt[3]{5}\right)^2.$$
Тогда
$$\left(\left(\sqrt[3]{2}\right)^2-\sqrt[3]{2}\cdot\sqrt[3]{5}+\left(\sqrt[3]{5}\right)^2\right)\left(\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{5}\right).$$
По формуле
$$\left(a^2-ab+b^2\right)\left(a+b\right)=a^3+b^3$$
имеем
$$\left(\sqrt[3]{2}\right)^3+\left(\sqrt[3]{5}\right)^3=2+5=7.$$