Упр.1114 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Найти член разложения бинома:
   1. $$\left(\sqrt[3]{x}+\frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right)^{15}$$, содержащий $$x^{1/3}$$;
   2. $$\left(\frac{1}{\sqrt{x}}+\sqrt{x}\right)^{14}$$, содержащий $$x^2$$;
   3. $$\left(\frac{1}{\sqrt[4]{x}}+\sqrt[3]{x}\right)^{16}$$, содержащий $$x^{-13/12}$$;
   4. $$\left(\sqrt[5]{x}+\frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right)^{13}$$, содержащий $$x^{-0,6}$$.

Общий член разложения бинома $$\left(a+b\right)^m$$ имеет вид $$C_m^n a^{m-n}b^n.$$

1. Для $$\left(\sqrt[3]{x}+\frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right)^{15}$$ общий член равен

   $$C_{15}^n\left(x^{\frac13}\right)^{15-n}\left(x^{-\frac13}\right)^n=C_{15}^n x^{5-\frac{2n}{3}}.$$

   Ищем член, содержащий $$x^{\frac13}$$:

   $$5-\frac{2n}{3}=\frac13,$$

   $$15-2n=1,$$

   $$n=7.$$

   Тогда коэффициент равен

   $$C_{15}^7=\frac{15!}{7!\,8!}=6435.$$

   Искомый член: $$6435x^{\frac13}.$$

2. Для $$\left(\frac{1}{\sqrt{x}}+\sqrt{x}\right)^{14}$$ общий член равен

   $$C_{14}^n\left(x^{-\frac12}\right)^{14-n}\left(x^{\frac12}\right)^n=C_{14}^n x^{-7+n}.$$

   Ищем член, содержащий $$x^2$$:

   $$-7+n=2,$$

   $$n=9.$$

   Тогда

   $$C_{14}^9=\frac{14!}{9!\,5!}=2002.$$

   Искомый член: $$2002x^2.$$

3. Для $$\left(\frac{1}{\sqrt[4]{x}}+\sqrt[3]{x}\right)^{16}$$ общий член равен

   $$C_{16}^n\left(x^{-\frac14}\right)^{16-n}\left(x^{\frac13}\right)^n=C_{16}^n x^{-4+\frac{7n}{12}}.$$

   Ищем член, содержащий $$x^{-\frac{13}{12}}$$:

   $$-4+\frac{7n}{12}=-\frac{13}{12},$$

   $$-48+7n=-13,$$

   $$7n=35,$$

   $$n=5.$$

   Тогда

   $$C_{16}^5=\frac{16!}{5!\,11!}=4368.$$

   Искомый член: $$4368x^{-\frac{13}{12}}.$$

4. Для $$\left(\sqrt[5]{x}+\frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right)^{13}$$ общий член равен

   $$C_{13}^n\left(x^{\frac15}\right)^{13-n}\left(x^{-\frac13}\right)^n=C_{13}^n x^{\frac{13}{5}-\frac{8n}{15}}.$$

   Ищем член, содержащий $$x^{-0{,}6}=-\frac35$$:

   $$\frac{13}{5}-\frac{8n}{15}=-\frac35,$$

   $$39-8n=-9,$$

   $$8n=48,$$

   $$n=6.$$

   Тогда

   $$C_{13}^6=\frac{13!}{6!\,7!}=1716.$$

   Искомый член: $$1716x^{-0{,}6}.$$

Ответ

1) $$6435x^{\frac13}$$; 2) $$2002x^2$$; 3) $$4368x^{-\frac{13}{12}}$$; 4) $$1716x^{-0{,}6}$$.