Упр.111 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Сравнить числа $$a$$ и $$b$$, если:

1) $$a=\frac{2}{\sqrt5-\sqrt3}+\frac{5}{3+2\sqrt2}, \qquad b=\frac{2}{\sqrt8-\sqrt5}.$$

Сравним слагаемые:

$$\sqrt5-\sqrt3<\sqrt8-\sqrt5,$$

значит,

$$\frac{2}{\sqrt5-\sqrt3}>\frac{2}{\sqrt8-\sqrt5}.$$

Кроме того, $$\frac{5}{3+2\sqrt2}>0,$$ поэтому

$$a>\frac{2}{\sqrt5-\sqrt3}>\frac{2}{\sqrt8-\sqrt5}=b.$$

Ответ: $$a>b.$$

2) $$a=\sqrt2+\sqrt3, \qquad b=\sqrt{10}.$$

Возведём в квадрат:

$$a^2=(\sqrt2+\sqrt3)^2=2+3+2\sqrt6=5+2\sqrt6.$$

Так как $$\sqrt6<2{,}5,$$ то

$$a^2=5+2\sqrt6<5+5=10=b^2.$$

Оба числа положительны, значит

$$a<b.$$

Ответ: $$a<b.$$

3) $$a=5-\sqrt{15}, \qquad b=\sqrt{17}-3.$$

Сравним числа, оценив корни:

$$\sqrt{15}<4,\qquad \sqrt{17}<5.$$

Тогда

$$a=5-\sqrt{15}>1,$$

а

$$b=\sqrt{17}-3<2.$$

Для более точного сравнения возведём в квадрат:

$$a>b \iff 5-\sqrt{15}>\sqrt{17}-3 \iff 8>\sqrt{15}+\sqrt{17}.$$

Проверим:

$$64>15+17+2\sqrt{255},$$

$$32&gt{2}\sqrt{255},$$

$$16>\sqrt{255},$$

$$256>255.$$

Следовательно, $$8>\sqrt{15}+\sqrt{17},$$ значит

$$a>b.$$

Ответ: $$a>b.$$

4) $$a=\sqrt{13}-\sqrt{12}, \qquad b=\sqrt{12}-\sqrt{11}.$$

Сравним разности:

$$a<b \iff \sqrt{13}-\sqrt{12}<\sqrt{12}-\sqrt{11}.$$

Перенесём и преобразуем:

$$\sqrt{13}+\sqrt{11}<2\sqrt{12}.$$

Возведём в квадрат:

$$13+11+2\sqrt{143}<4\cdot 12,$$

$$24+2\sqrt{143}<48,$$

$$2\sqrt{143}<24,$$

$$\sqrt{143}<12,$$

$$143<144.$$

Это верно, значит

$$a<b.$$

Ответ: $$a<b.$$