Упр.1100 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
Решить уравнение:
$$\frac{P_{x+1}}{P_{x-1}}=30$$
$$\frac{(x+1)!}{(x-1)!}=30$$
$$\frac{(x+1)\cdot x\cdot (x-1)!}{(x-1)!}=30$$
$$x^2+x-30=0$$
$$D=1+120=121$$
$$x_{1,2}=\frac{-1\pm 11}{2}$$
$$x_1=-6,\quad x_2=5$$
Так как для факториалов должно быть $$x\ge 1$$, подходит только $$x=5$$.
$$\frac{P_x}{P_{x-2}}=42$$
$$\frac{x!}{(x-2)!}=42$$
$$x(x-1)=42$$
$$x^2-x-42=0$$
$$D=1+168=169$$
$$x_{1,2}=\frac{1\pm 13}{2}$$
$$x_1=-6,\quad x_2=7$$
С учётом области определения $$x\ge 2$$ получаем $$x=7$$.
$$\frac{1}{P_{x-5}}=\frac{56}{P_{x-3}}$$
$$\frac{1}{(x-5)!}=\frac{56}{(x-3)!}$$
$$\frac{(x-3)!}{(x-5)!}=56$$
$$(x-3)(x-4)=56$$
$$x^2-7x+12-56=0$$
$$x^2-7x-44=0$$
$$D=49+176=225$$
$$x_{1,2}=\frac{7\pm 15}{2}$$
$$x_1=-4,\quad x_2=11$$
Подходит только $$x=11$$.
$$\frac{1}{P_{x-4}}=\frac{110}{P_{x-2}}$$
$$\frac{1}{(x-4)!}=\frac{110}{(x-2)!}$$
$$\frac{(x-2)!}{(x-4)!}=110$$
$$(x-2)(x-3)=110$$
$$x^2-5x+6-110=0$$
$$x^2-5x-104=0$$
$$D=25+416=441$$
$$x_{1,2}=\frac{5\pm 21}{2}$$
$$x_1=-8,\quad x_2=13$$
С учётом ОДЗ подходит $$x=13$$.
$$A_{x+1}^3=72(x-1)$$
$$\frac{(x+1)!}{(x-2)!}=72(x-1)$$
$$(x+1)\cdot x\cdot (x-1)=72(x-1)$$
$$x(x+1)=72$$
$$x^2+x-72=0$$
$$D=1+288=289$$
$$x_{1,2}=\frac{-1\pm 17}{2}$$
$$x_1=-9,\quad x_2=8$$
Подходит $$x=8$$.
$$A_{x-1}^4=40(x-2)(x-3)$$
$$\frac{(x-1)!}{(x-5)!}=40(x-2)(x-3)$$
$$(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)=40(x-2)(x-3)$$
$$(x-1)(x-4)=40$$
$$x^2-5x+4-40=0$$
$$x^2-5x-36=0$$
$$D=25+144=169$$
$$x_{1,2}=\frac{5\pm 13}{2}$$
$$x_1=-4,\quad x_2=9$$
Подходит $$x=9$$.
$$5C_{n+1}^3=8C_n^4$$
$$5\cdot \frac{(n+1)!}{3!(n-2)!}=8\cdot \frac{n!}{4!(n-4)!}$$
$$5\cdot \frac{(n+1)n(n-1)(n-2)!}{3!\,(n-2)!}=8\cdot \frac{n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)!}{4!\,(n-4)!}$$
$$5(n+1)=2(n-2)(n-3)$$
$$5n+5=2n^2-10n+12$$
$$2n^2-15n+7=0$$
$$D=225-56=169$$
$$n_{1,2}=\frac{15\pm 13}{4}$$
$$n_1=\frac12,\quad n_2=7$$
Так как $$n\ge 4$$, подходит только $$n=7$$.
$$C_n^3=4C_{n-2}^2$$
$$\frac{n!}{3!(n-3)!}=4\cdot \frac{(n-2)!}{2!(n-4)!}$$
$$\frac{n(n-1)(n-2)!}{6}=2(n-2)(n-3)$$
$$n(n-1)=12(n-3)$$
$$n^2-n=12n-36$$
$$n^2-13n+36=0$$
$$D=169-144=25$$
$$n_{1,2}=\frac{13\pm 5}{2}$$
$$n_1=4,\quad n_2=9$$
Оба значения подходят.
