Упр.1096 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Найти член разложения бинома:
   
   1) $$\left(\sqrt[3]{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^{12}$$, содержащий $$x^{-1}$$;
   
   2) $$\left(\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right)^{16}$$, содержащий $$x^3$$.

1) Общий член разложения бинома

$$\left(\sqrt[3]{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^{12}$$

имеет вид

$$C_{12}^n\left(x^{\frac13}\right)^{12-n}\left(x^{-\frac12}\right)^n=C_{12}^n x^{4-\frac{n}{3}-\frac{n}{2}}=C_{12}^n x^{4-\frac{5n}{6}}.$$

Найдём, при каком $$n$$ степень равна $$-1$$:

$$4-\frac{5n}{6}=-1,$$

$$\frac{5n}{6}=5,$$

$$n=6.$$

Тогда искомый член равен

$$C_{12}^6x^{-1}.$$

Вычислим коэффициент:

$$C_{12}^6=\frac{12!}{6!\,6!}=924.$$

Следовательно, искомый член разложения:

$$924x^{-1}.$$

2) Общий член разложения бинома

$$\left(\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right)^{16}$$

имеет вид

$$C_{16}^n\left(x^{\frac12}\right)^{16-n}\left(x^{-\frac13}\right)^n=C_{16}^n x^{8-\frac{n}{2}-\frac{n}{3}}=C_{16}^n x^{8-\frac{5n}{6}}.$$

Найдём, при каком $$n$$ степень равна $$3$$:

$$8-\frac{5n}{6}=3,$$

$$\frac{5n}{6}=5,$$

$$n=6.$$

Тогда искомый член равен

$$C_{16}^6x^3.$$

Вычислим коэффициент:

$$C_{16}^6=\frac{16!}{6!\,10!}=8008.$$

Следовательно, искомый член разложения:

$$8008x^3.$$

Ответ

1) $$924x^{-1}$$ 2) $$8008x^3$$