Упр.1095 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

С помощью свойства элементов строки треугольника Паскаля найти сумму:

1. 1) $$C_7^0+C_7^1+C_7^2+C_7^3+C_7^4+C_7^5+C_7^6+C_7^6$$; 2) $$C_6^6+C_6^5+C_6^4+C_6^3+C_6^2+C_6^1+C_6^0$$; 3) $$C_6^1+C_6^2+C_6^3+C_6^4+C_6^5$$; 4) $$C_7^6+C_7^5+C_7^4+C_7^3+C_7^2+C_7^1$$; 5) $$C_9^0+C_9^1+C_9^2+C_9^3+C_9^4$$; 6) $$C_{11}^5+C_{11}^4+C_{11}^3+C_{11}^2+C_{11}^1+C_{11}^0$$.

Используем свойство: сумма всех элементов $$n$$-й строки треугольника Паскаля равна $$2^n.$$

1. $$C_7^0+C_7^1+C_7^2+C_7^3+C_7^4+C_7^5+C_7^6+C_7^7=2^7=128.$$

2. $$C_6^6+C_6^5+C_6^4+C_6^3+C_6^2+C_6^1+C_6^0=2^6=64.$$

   Но в сумме не хватает только одного элемента строки, поэтому

   $$C_6^6+C_6^5+C_6^4+C_6^3+C_6^2+C_6^1+C_6^0=2^6=64.$$

   Если же требуется сумма без одного элемента, то

   $$C_6^6+C_6^5+C_6^4+C_6^3+C_6^2+C_6^1=2^6-C_6^0=64-1=63.$$

3. $$C_6^1+C_6^2+C_6^3+C_6^4+C_6^5=2^6-C_6^0-C_6^6=64-1-1=62.$$

4. $$C_7^6+C_7^5+C_7^4+C_7^3+C_7^2+C_7^1=2^7-C_7^0-C_7^7=128-1-1=126.$$

5. $$C_9^0+C_9^1+C_9^2+C_9^3+C_9^4=\frac12\cdot 2^9=2^8=256.$$

6. $$C_{11}^5+C_{11}^4+C_{11}^3+C_{11}^2+C_{11}^1+C_{11}^0=\frac12\cdot 2^{11}=2^{10}=1024.$$

Ответ

1) $$128$$; 2) $$64$$; 3) $$62$$; 4) $$126$$; 5) $$256$$; 6) $$1024$$.