Упр.1094 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Найти четвёртый член разложения бинома:

1. $$\left(\sqrt{x}+x\right)^{12}$$;
2. $$\left(x-\sqrt{x}\right)^{14}$$;
3. $$\left(x-\frac{1}{x}\right)^{13}$$;
4. $$\left(\frac{1}{x}+x\right)^{11}$$;
5. $$\left(a^{0,1}+a^{0,2}\right)^9$$;
6. $$\left(b^{0,3}+b^{0,4}\right)^8$$.

Используем формулу общего члена разложения бинома Ньютона:

$$T_{k+1}=C_n^k a^{\,n-k}b^k.$$

1. Для $$\left(\sqrt{x}+x\right)^{12}$$ четвёртый член соответствует $$k=3$$:

   $$T_4=C_{12}^3(\sqrt{x})^{12-3}x^3=C_{12}^3(\sqrt{x})^9x^3.$$

   $$C_{12}^3=\frac{12!}{9!\,3!}=220,\qquad (\sqrt{x})^9=x^{9/2}.$$

   $$T_4=220x^{9/2}x^3=220x^{15/2}.$$

2. Для $$\left(x-\sqrt{x}\right)^{14}$$:

   $$T_4=C_{14}^3x^{14-3}(-\sqrt{x})^3=C_{14}^3x^{11}(-x^{3/2}).$$

   $$C_{14}^3=\frac{14!}{11!\,3!}=364,$$

   $$T_4=-364x^{11+3/2}=-364x^{25/2}.$$

3. Для $$\left(x-\frac{1}{x}\right)^{13}$$:

   $$T_4=C_{13}^3x^{13-3}\left(-\frac{1}{x}\right)^3=C_{13}^3x^{10}\left(-\frac{1}{x^3}\right).$$

   $$C_{13}^3=\frac{13!}{10!\,3!}=286,$$

   $$T_4=-286x^{10-3}=-286x^7.$$

4. Для $$\left(\frac{1}{x}+x\right)^{11}$$:

   $$T_4=C_{11}^3\left(\frac{1}{x}\right)^{11-3}x^3=C_{11}^3\left(\frac{1}{x}\right)^8x^3.$$

   $$C_{11}^3=\frac{11!}{8!\,3!}=165,$$

   $$T_4=165x^{-8}x^3=165x^{-5}.$$

5. Для $$\left(a^{0,1}+a^{0,2}\right)^9$$:

   $$T_4=C_9^3(a^{0,1})^{9-3}(a^{0,2})^3=C_9^3a^{0,6}a^{0,6}.$$

   $$C_9^3=\frac{9!}{6!\,3!}=84,$$

   $$T_4=84a^{1,2}.$$

6. Для $$\left(b^{0,3}+b^{0,4}\right)^8$$:

   $$T_4=C_8^3(b^{0,3})^{8-3}(b^{0,4})^3=C_8^3b^{1,5}b^{1,2}.$$

   $$C_8^3=\frac{8!}{5!\,3!}=56,$$

   $$T_4=56b^{2,7}.$$

Ответ: $$220x^{15/2};\ -364x^{25/2};\ -286x^7;\ 165x^{-5};\ 84a^{1,2};\ 56b^{2,7}.$$