Упр.1093 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Записать разложение бинома:

1. $$\left(1+\sqrt{2}\right)^6$$;
2. $$\left(1+\sqrt{3}\right)^5$$;
3. $$\left(a-\frac{1}{3a}\right)^7$$;
4. $$\left(b-\frac{1}{2b}\right)^6$$.

Используем формулу бинома Ньютона:

$$(a+b)^n=C_n^0a^n+C_n^1a^{n-1}b+C_n^2a^{n-2}b^2+\dots+C_n^nb^n.$$

1. $$(1+\sqrt2)^6=1^6+6\cdot1^5\sqrt2+15\cdot1^4(\sqrt2)^2+20\cdot1^3(\sqrt2)^3+15\cdot1^2(\sqrt2)^4+6\cdot1(\sqrt2)^5+(\sqrt2)^6$$

   $$=1+6\sqrt2+15\cdot2+20\cdot2\sqrt2+15\cdot4+6\cdot4\sqrt2+8$$

   $$=99+70\sqrt2.$$

2. $$(1+\sqrt3)^5=1^5+5\cdot1^4\sqrt3+10\cdot1^3(\sqrt3)^2+10\cdot1^2(\sqrt3)^3+5\cdot1(\sqrt3)^4+(\sqrt3)^5$$

   $$=1+5\sqrt3+10\cdot3+10\cdot3\sqrt3+5\cdot9+9\sqrt3$$

   $$=76+44\sqrt3.$$

3. $$\left(a-\frac{1}{3a}\right)^7 =a^7-7a^6\cdot\frac{1}{3a}+21a^5\left(\frac{1}{3a}\right)^2-35a^4\left(\frac{1}{3a}\right)^3+35a^3\left(\frac{1}{3a}\right)^4-21a^2\left(\frac{1}{3a}\right)^5+7a\left(\frac{1}{3a}\right)^6-\left(\frac{1}{3a}\right)^7$$

   $$=a^7-\frac{7}{3}a^5+\frac{7}{3}a^3-\frac{35}{27}a+\frac{35}{81}a^{-1}-\frac{7}{81}a^{-3}+\frac{7}{729}a^{-5}-\frac{1}{2187}a^{-7}.$$

4. $$\left(b-\frac{1}{2b}\right)^6 =b^6-6b^5\cdot\frac{1}{2b}+15b^4\left(\frac{1}{2b}\right)^2-20b^3\left(\frac{1}{2b}\right)^3+15b^2\left(\frac{1}{2b}\right)^4-6b\left(\frac{1}{2b}\right)^5+\left(\frac{1}{2b}\right)^6$$

   $$=b^6-3b^4+\frac{15}{4}b^2-\frac{5}{2}+\frac{15}{16}b^{-2}-\frac{3}{16}b^{-4}+\frac{1}{64}b^{-6}.$$

Ответ: $$99+70\sqrt2;\ 76+44\sqrt3;\ a^7-\frac{7}{3}a^5+\frac{7}{3}a^3-\frac{35}{27}a+\frac{35}{81}a^{-1}-\frac{7}{81}a^{-3}+\frac{7}{729}a^{-5}-\frac{1}{2187}a^{-7};\ b^6-3b^4+\frac{15}{4}b^2-\frac{5}{2}+\frac{15}{16}b^{-2}-\frac{3}{16}b^{-4}+\frac{1}{64}b^{-6}.$$