Упр.1093 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1) (1+ корень 2)6;
2) (1+ корень 3)5;
3) (a — 1/3a)7;
4) (b-1/2b)6.

Используем формулу бинома Ньютона:

$$ (a+b)^n=C_n^0a^n+C_n^1a^{n-1}b+C_n^2a^{n-2}b^2+\dots+C_n^nb^n. $$

1. $$ (1+\sqrt2)^6= 1^6+6\cdot1^5\sqrt2+15\cdot1^4(\sqrt2)^2+20\cdot1^3(\sqrt2)^3+15\cdot1^2(\sqrt2)^4+6\cdot1(\sqrt2)^5+(\sqrt2)^6. $$

   $$ =1+6\sqrt2+15\cdot2+20\cdot2\sqrt2+15\cdot4+6\cdot4\sqrt2+8 =99+70\sqrt2. $$

2. $$ (1+\sqrt3)^5= 1^5+5\cdot1^4\sqrt3+10\cdot1^3(\sqrt3)^2+10\cdot1^2(\sqrt3)^3+5\cdot1(\sqrt3)^4+(\sqrt3)^5. $$

   $$ =1+5\sqrt3+10\cdot3+10\cdot3\sqrt3+5\cdot9+3\sqrt3 =76+44\sqrt3. $$

3. $$ \left(a-\frac1{3a}\right)^7= a^7-7a^6\cdot\frac1{3a}+21a^5\left(\frac1{3a}\right)^2-35a^4\left(\frac1{3a}\right)^3+35a^3\left(\frac1{3a}\right)^4-21a^2\left(\frac1{3a}\right)^5+7a\left(\frac1{3a}\right)^6-\left(\frac1{3a}\right)^7. $$

   $$ =a^7-\frac73a^5+\frac73a^3-\frac{35}{27}a+\frac{35}{81}a^{-1}-\frac7{81}a^{-3}+\frac7{729}a^{-5}-\frac1{2187}a^{-7}. $$

4. $$ \left(b-\frac1{2b}\right)^6= b^6-6b^5\cdot\frac1{2b}+15b^4\left(\frac1{2b}\right)^2-20b^3\left(\frac1{2b}\right)^3+15b^2\left(\frac1{2b}\right)^4-6b\left(\frac1{2b}\right)^5+\left(\frac1{2b}\right)^6. $$

   $$ =b^6-3b^4+\frac{15}{4}b^2-\frac52+\frac{15}{16}b^{-2}-\frac3{16}b^{-4}+\frac1{64}b^{-6}. $$

Ответ

1) $$99+70\sqrt2$$;
2) $$76+44\sqrt3$$;
3) $$a^7-\frac73a^5+\frac73a^3-\frac{35}{27}a+\frac{35}{81}a^{-1}-\frac7{81}a^{-3}+\frac7{729}a^{-5}-\frac1{2187}a^{-7}$$;
4) $$b^6-3b^4+\frac{15}{4}b^2-\frac52+\frac{15}{16}b^{-2}-\frac3{16}b^{-4}+\frac1{64}b^{-6}$$.