Упр.1091 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Решить уравнение:

1. $$C_{x+1}^{2}+C_{x+1}^{3}=7x$$;
2. $$C_{x-1}^{3}+C_{x-1}^{2}=4(x-1)$$;
3. $$C_x^{3}=\frac{4}{15}C_{x+2}^{4}$$;
4. $$5C_x^{3}=C_{x+2}^{4}$$;
5. $$C_{3x+1}^{3x-1}=120$$;
6. $$C_{2x+1}^{2x-1}=36$$.

1) $$C_{x+1}^{2}+C_{x+1}^{3}=7x$$

Так как $$C_{x+1}^{2}=\frac{(x+1)x}{2}, \qquad C_{x+1}^{3}=\frac{(x+1)x(x-1)}{6},$$ то

$$\frac{(x+1)x}{2}+\frac{(x+1)x(x-1)}{6}=7x.$$

Умножим на $$6$$:

$$3x(x+1)+x(x+1)(x-1)=42x.$$

$$x(x+1)\bigl(3+x-1\bigr)=42x,$$

$$x(x+1)(x+2)=42x.$$

При $$x=0$$ уравнение выполняется. Если $$x\neq 0$$, то

$$(x+1)(x+2)=42,$$

$$x^2+3x-40=0,$$

$$(x-5)(x+8)=0.$$

С учётом области определения получаем $$x=5$$.

2) $$C_{x-1}^{3}+C_{x-1}^{2}=4(x-1)$$

$$\frac{(x-1)(x-2)(x-3)}{6}+\frac{(x-1)(x-2)}{2}=4(x-1).$$

Вынесем $$x-1$$:

$$(x-1)(x-2)\left(\frac{x-3}{6}+\frac12\right)=4(x-1).$$

$$(x-1)(x-2)\cdot \frac{x}{6}=4(x-1).$$

Если $$x=1$$, то уравнение верно. Если $$x\neq 1$$, то

$$x(x-2)=24,$$

$$x^2-2x-24=0,$$

$$(x-6)(x+4)=0.$$

С учётом области определения: $$x=6$$.

3) $$C_x^{3}=\frac{4}{15}C_{x+2}^{4}$$

$$\frac{x(x-1)(x-2)}{6}=\frac{4}{15}\cdot \frac{(x+2)(x+1)x(x-1)}{24}.$$

Сократим на $$x(x-1)$$:

$$\frac{x-2}{6}=\frac{(x+2)(x+1)}{90}.$$

$$15(x-2)=(x+2)(x+1),$$

$$15x-30=x^2+3x+2,$$

$$x^2-12x+32=0,$$

$$(x-4)(x-8)=0.$$

С учётом области определения: $$x=4$$ или $$x=8$$.

4) $$5C_x^{3}=C_{x+2}^{4}$$

$$5\cdot \frac{x(x-1)(x-2)}{6}=\frac{(x+2)(x+1)x(x-1)}{24}.$$

Сократим на $$x(x-1)$$:

$$5\cdot \frac{x-2}{6}=\frac{(x+2)(x+1)}{24}.$$

$$20(x-2)=(x+2)(x+1),$$

$$20x-40=x^2+3x+2,$$

$$x^2-17x+42=0,$$

$$(x-3)(x-14)=0.$$

С учётом области определения: $$x=3$$ или $$x=14$$.

5) $$C_{3x+1}^{3x-1}=120$$

$$C_{3x+1}^{3x-1}=C_{3x+1}^{2}=\frac{(3x+1)\cdot 3x}{2}.$$

Тогда

$$\frac{3x(3x+1)}{2}=120,$$

$$3x(3x+1)=240,$$

$$9x^2+3x-240=0,$$

$$3x^2+x-80=0,$$

$$(3x+16)(x-5)=0.$$

С учётом области определения получаем $$x=5$$.

6) $$C_{2x+1}^{2x-1}=36$$

$$C_{2x+1}^{2x-1}=C_{2x+1}^{2}=\frac{(2x+1)\cdot 2x}{2}=x(2x+1).$$

Тогда

$$x(2x+1)=36,$$

$$2x^2+x-36=0,$$

$$(2x+9)(x-4)=0.$$

С учётом области определения получаем $$x=4$$.

Ответ

1) $$x=5$$; 2) $$x=6$$; 3) $$x=4,\,8$$; 4) $$x=3,\,14$$; 5) $$x=5$$; 6) $$x=4$$.