Упр.1090 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Найти значение выражения, предварительно его упростив:

1. а) $$C_{13}^{10}+C_{13}^{11}$$;
   б) $$C_{14}^{12}+C_{14}^{13}$$;
   в) $$C_{19}^{4}-C_{18}^{4}$$;
   г) $$C_{21}^{3}-C_{20}^{3}$$;
   д) $$C_{61}^{3}-C_{60}^{2}$$;
   е) $$C_{71}^{3}+C_{70}^{2}$$.

Используем рекуррентное свойство сочетаний:

$$C_m^n+C_m^{n+1}=C_{m+1}^{n+1},$$

а также

$$C_m^{n+1}-C_m^n=C_{m+1}^{n+1}, \qquad C_m^n-C_{m-1}^n=C_{m-1}^{n-1}.$$

1. $$C_{13}^{10}+C_{13}^{11}=C_{14}^{11}$$

   $$C_{14}^{11}=\frac{14!}{11!\,3!}=\frac{14\cdot 13\cdot 12}{3\cdot 2}=364$$

2. $$C_{14}^{12}+C_{14}^{13}=C_{15}^{13}$$

   $$C_{15}^{13}=\frac{15!}{13!\,2!}=\frac{15\cdot 14}{2}=105$$

3. $$C_{19}^{4}-C_{18}^{4}=C_{18}^{3}$$

   $$C_{18}^{3}=\frac{18!}{15!\,3!}=\frac{18\cdot 17\cdot 16}{3\cdot 2}=816$$

4. $$C_{21}^{3}-C_{20}^{3}=C_{20}^{2}$$

   $$C_{20}^{2}=\frac{20!}{18!\,2!}=\frac{20\cdot 19}{2}=190$$

5. $$C_{61}^{3}-C_{60}^{2}=C_{60}^{3}$$

   $$C_{60}^{3}=\frac{60!}{57!\,3!}=\frac{60\cdot 59\cdot 58}{3\cdot 2}=34220$$

6. $$C_{71}^{3}-C_{70}^{2}=C_{70}^{3}$$

   $$C_{70}^{3}=\frac{70!}{67!\,3!}=\frac{70\cdot 69\cdot 68}{3\cdot 2}=54740$$

Ответ: $$364;\ 105;\ 816;\ 190;\ 34220;\ 54740$$